【17页】高考数学艺体生精选好题突围系列（基础篇）专题15抛物线.doc在线文档

，故，抛物线的标准方程为，在抛物线上，由两点间的距离公式知已知点抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则∶∶∶∶∶答案解析根据抛物线的定义和相似三角形的判定及性质求解如图所示，由抛物线定义知，∶∶由于∽，则，则∶∶，即∶∶故选设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的点，与轴正方向的夹角为，则的面积为答案解析过作⊥轴于，令，则故选已知正六边形的边长是，条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是答案解析根据对称可知，正六边形的顶点在抛物线上，设则，即，又，即，即选已知抛物线的焦点为，抛物线与直线的个交点的横坐标为求抛物线的方程不过原点的直线与垂直，且与抛物线交于不同的两点若线段的中点为，且，求的面积答案得分点抛物线的几何性质背背基础知识抛物线的几何性质图形标准方程的几何意义焦点到准线的距离几何性质顶点，开口方向向右向左向上向下范围，且，且，且，且对称轴离心率焦点，，，，准线方程焦半径长公式，焦点弦长公式通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径关于抛物线焦点弦的几个结论设为过抛物线焦点的弦直线的倾斜角为，则以为直径的圆与准线相切焦点对在准线上射影的张角为讲讲基本技能必备技能个重要转化次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴看次项，符号决定开口方向六个常见结论直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，如图即当时，弦长最短为为定值④弦长为的倾斜角以为直径的圆与准线相切焦点对，在准线上射影的张角为典型例题例若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为分析由已知及双曲线的简单几何性质可得其焦点坐标，从而可得的值解析双曲线的右焦点，是抛物线的焦点例抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则分析由于为等边三角形可以判断两点关于轴对称，只需把准线方程代入双曲线方程即可求得两点坐标，问题即可解决解析由于的准线为，由解得准线与双曲线的交点为由为等边三角形，得，解得例定义曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数分析首先由圆心到直线的距离减去圆的半径得圆到直线的距离，再求抛物线与直线平行的切线方程，由两平行线距，因为，所以正方体已知直线与抛物线个交点的横坐标为，则抛物线的标准方程为答案解析由题意，抛物线与直线的个交点的坐标为代入抛物线方程可得抛物线方程为选择题分过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为，则等于答案解析设，则因为的中点的横坐标为即又因为因为所以故选本题关键是利用抛物线的定义把过焦点弦长的转化为两端的坐标表示形式已知抛物线的准线与双曲线，的两条渐近线围成个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是答案解析抛物线的准线为，双曲线，的渐近线方程为，由抛物线的准线与双曲线，的两条渐近线围成个等腰直角三角形，可知渐近线互相垂直，所以，，双曲线的离心率是，故选过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若与的长分别是，则等于答案解析因为直线是任意的，所以，可以取最特殊的情况直线垂直轴时此时故选已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点则该双曲线的离心率是答案解析由已知条件可得即得，整理可得，则该双曲线的离心率，故应选已知双曲线的条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则常数的值为答案解析双曲线的渐近线方程为，它的其中条渐近线方程为，则，所以双曲线的半焦距，抛物线的焦点坐标为，，因此有已知轴上点抛物线上任意点，满足，则的取值范围是，，，，答案解析设则，又，恒成立，故选已知抛物线的准线过双曲线的个焦点，则双曲线的离心率为答案解析抛物线的准线为，而抛物线的准线过双曲线的个焦点，的焦点为从而双曲线的标准方程为，故选过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则的面积为答案解析由已知可得如图过作，垂足为，则由抛物线的定义得，代入得舍去，，又直线方程为，即，代入得，圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是答案解析设圆心坐标为抛物线的准线方程为，由题意知，⇒，所求圆的圆心坐标为半径为，所求圆的方程为，化为般式为故选若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为答案抛物线上的任意点到直线的最短距离为以上答案都不对答案如图，是抛物线的焦点，是抛物线上任意点现给出下列四个结论以线段为直径的圆必与轴相切当点为坐标原点时，为最短若点是抛物线上异于点的点，则当直线过焦点时，取得最小值④点是抛物线上异于点的不同两点，若成等差数列，则点的横坐标亦成等差数列其中正确结论的个数是个个个个答案解析由已知抛物线的焦点，，设则圆心坐标为，，圆心到轴的距离为，圆的半径为，以线段为直径的圆与轴相切故正确设则，时，即当点为坐标原点时，为最短，正确设则，显然，即关于轴对称时，取得最小值，故不正确④设点的横坐标分别为，则成等差数列点的横坐标亦成等差数列，故④正确综上知，正确结论的个数是个二填空题分若函数与轴交点恰为抛物线焦点，则答案解析因为与轴的交点为抛物线的焦点为已知双曲线，的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点若双曲线的离心率为，的面积为，则答案解析由渐进线联立可得交点，，所以„又因为所以„所以由可得本小题的关键是解出，两点的坐标即可若点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为答案解析由题意，得抛物线与圆不相交，已知圆的圆心为则，当且仅当三点共线时取等号，所以当取最小值时，最小设则，，当且仅当时，取最小值，此时的最小值为抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为包含三角形内部与边界若点，是区域内的任意点，则的取值范围是答案，解析由于，所以抛物线在处的切线方程为，即画出可行域如图设，则，可知当直线经过点，时，分别取到最大值和最小值，此时最大值，最小值，故取值范围是，专题抛物线得分点抛物线的定义与标准方程背背基础知识抛物线的定义平面内与个定点和条定直线点不在直线上的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线其数学表达式其中为点到准线的距离抛物线的标准方程图形标准方程的几何意义焦点到准线的距离讲讲基本技能必备技能抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义标准方程几何性质外，还常常与函数问题应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等求抛物线的标准方程时，应从定形定式定量三个方面去思考定形就是指抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定抛物线的焦点在轴的正半轴负半轴上，还是在轴的正半轴负半轴上定式就是根据形设出抛物线的具体形式，若焦点在轴正半轴上，则设方程为若焦点在轴负半轴上，则设方程为若焦点在轴正半轴上，则设方程为若焦点在轴负半轴上，则设方程为定量就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数典型例题例设抛物线的顶点在原点，准线方程，则抛物线的方程是分析由已知及抛物线的几何性质知所求抛物线的焦点在轴正半轴上且，从而可写出抛物线的方程解析由准线方程，顶点在原点，可得两条信息该抛物线焦点为，该抛物线的焦准距故所求抛物线方程为例已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点若双曲线的离心率为，的面积为，则分析由双曲线离心率求得其渐近线方程，从而求得交点，的坐标，即可得到三角形面积表达式，从而得到的值例已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点求的最小值，并求出取最小值时点的坐标分析由定义知，抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，求的问题可转化为的问题解析将代入抛物线方程，得，在抛物线内部如图，设抛物线上点到准线的距离为，由定义知，当⊥时，最小，最小值为，即的最小值为，此时点纵坐标为，代入，得，点的坐标为，名师点评涉及抛物线上的点到焦点准线的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线焦点的距离问题求解例已知动圆过定点且在轴上截得弦的长为求动圆圆心的轨迹的方程已知点设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点若轴是的角平分线，证明直线过定点分析利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系解析如图，设动圆圆心由题意，当不在轴上时，过作⊥交于，则是的中点，又，化简得，≠当在轴上时，与重合，点的坐标，也满足方程，动圆圆心的轨迹的方程为证明如图，由题意，设直线的方程为≠，将代入中，得其中由根与系数的关系得轴是的角平分线即，将代入并整理