1、“.....等式的两边会增加多少项，增加怎样的项难点在于寻求等式在和时的联系跟踪演练设令∈写出的值，并猜想数列的通项公式用数学归纳法证明你的结论把正整数按定的规则排成了如图所示的三角形数表设，∈是位于这个三角形数表中从上往下数第行从左往右数第个数，如若，则与的和为已知下列不等式，„，则第个不等式为设数列是公比为的等比数列，是它的前项和，证明数列不是等比数列提醒完成作业专题四第讲二轮专题强化练专题四第讲推理与证明组专题通关观察下列各式，„，则等于观察下列事实的不同整数解，的个数为，的不同整数解，的个数为，的不同整数解，的个数为，„，则的不同整数解，的个数为合肥模拟正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理结论正确大前提不正确小前提不正确全不正确下列推理是归纳推理的是，为定点，动点满足，则点的轨迹为椭圆由求出，猜想出数列的前项和的表达式由圆的面积......”。

2、“.....数列是等差数列，则的值恒为正数恒为负数恒为可正可负山东定义运算⊗⊗，∈，≠，当，时，⊗⊗的最小值为平面内有条直线，最多可将平面分成个区域，则的表达式为如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意„都有„„若在区间，上是凸函数，那么在中，的最大值是同学在次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同个常数④试从上述五个式子中选择个，求出这个常数根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论已知为非零实数，且，求证求证组能力提高西安五校联考已知整数对按如下规律排成列„，则第个整数对是对大于的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的分裂，，，„仿此，若的分裂数中有个是，则的值为在平面上，我们如果用条直线去截正方形的个角，那么截下的个直角三角形，按下图所标边长......”。

3、“.....把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是个正六边形，如图为组蜂巢的截面图其中第个图有个蜂巢，第二个图有个蜂巢，第三个图有个蜂巢，按此规律，以表示第个图的蜂巢总数试给出，的值，并求的表达式不要求证明证明„学生用书答案精析第讲推理与证明高考真题体验如图，集合表示如图所示的所有圆点，集合表示如图所示的所有圆点所有圆点，集合显然是集合，差为，则„，又正项数列为等比数列，设公比为，则„，故选设则过点，的切线的方程分别为，因为，在这两条切线上，所以这说明，都在直线上，故切点弦所在直线的方程为例解已知化为，而，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，则，由，知数列的项正负相间出现......”。

4、“.....不妨设为，其中是互不相等的正整数，可设，而随的增大而减小，那么只能有，可得，则当时，上式不可能成立，则只能有，此时等式为，即，那么，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等所以假设不成立，那么数列中的任意三项不可能成等差数列跟踪演练证明要证，即证，也就是，只需证，需证，又三内角成等差数列，故，由余弦定理，得，即，故成立于是原等式成立假设是的负根，则，且≠所以⇒，解得，这与矛盾，故方程没有负根例解当时，所以当时，所以当时，所以由，猜想，下面用数学归纳法给出证明当时，不等式显然成立，假设当时不等式成立，即„那么，当时，因为，所以由可知，对切∈，都有成立跟踪演练解，猜想∈证明易知，时，猜想正确假设时猜想正确，即......”。

5、“.....时猜想正确由知，对于任何∈，都有高考押题精练解析由三角形数表的排列规律知则必为奇数设在第行上面，必有行为奇数行，行为偶数行在前行中，共有奇数个最大的奇数为，由得的最大值最大的奇数为，在第行中，首项为，即故解析已知所给不等式的左边第个式子都是，不同之处在于第二个式子，当时，为当时，为当时，为„„显然式子中的分子与分母是对应的，分母为，分子是，所以不等式左边的式子为，显然不等式右边的式子为，所以第个不等式为证明假设是等比数列，则，即因为≠，所以，即，这与≠矛盾，故不是等比数列二轮专题强化练答案精析第讲推理与证明观察可得各式的值构成数列，„，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为„，第十项为，即由的不同整数解的个数为，的不同整数解的个数为，的不同整数解的个数为，归纳推理得的不同整数解的个数为......”。

6、“.....所以小前提不正确从猜想出数列的前项和，是从特殊到般的推理，所以是归纳推理由已知得，所以由于单调递增且为奇函数，所以，又，所以故选解析由题意，得⊗⊗，当且仅当时取等号解析条直线将平面分成个区域条直线最多可将平面分成个区域条直线最多可将平面分成个区域„„，条直线最多可将平面分成„个区域解析由题意知，凸函数满足„„，又在区间，上是凸函数，则解方法选择式，计算如下三角恒等式为证明如下方法二同方法三角恒等式为证明如下证明分析法要证成立，只需证，即证，即证根据基本不等式，有成立，所以原不等式成立综合法因为由，知，即，解得或又因为所以，故舍去，所以依题意，就每组整数对的和相同的分为组，不难得知每组整数对的和为，且每组共有个整数时，这样的前组共有个整数，注意到......”。

7、“.....结合题意可知每对整数对的和为的组中的各数对依次为„，因此第个整数对是，解析由已知可观察出可分裂为个连续奇数，最小的个为当时，最小的数为，第二个便是解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得解，由于，„„因此，当时，有，所以„„又，所以证明当时，所以„„第讲推理与证明湖北已知集合，∈，∈，定义集合∈∈，则中元素的个数为北京学生的语文数学成绩均被评定为三个等级，依次为优秀合格不合格若学生甲的语文数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有门成绩高于乙，则称学生甲比学生乙成绩好如果组学生中没有哪位学生比另位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有人人人人山东观察下列各式„„照此规律，当∈时，„福建个二元码是由和组成的数字串„∈，其中„，称为第位码元二元码是通信中常用的码......”。

8、“.....或者由变为已知种二元码„的码元满足如下校验方程组，，，其中运算定义为，，，现已知个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元后变成了，那么利用上述校验方程组可判定等于以数表数阵图形为背景与数列周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数数列及不等式等综合命题热点归纳推理归纳推理是由类事物的部分对象具有些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出般结论的推理归纳推理的思维过程如下实验观察概括推广猜测般性结论例古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数„，第个三角形数为，记第个边形数为以下列出了部分边形数中第个数的表达式三角形数正方形数五边形数六边形数，„„可以推测，的表达式......”。

9、“.....经计算得，则有思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察分析概括，猜想出般性结论，然后予以证明，这数学思想方法在解决探索性问题存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用其思维模式是观察归纳猜想证明，解题的关键在于正确的归纳猜想跟踪演练有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在起，且有个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是热点二类比推理类比推理是由两类对象具有些类似特征和其中类对象的些已知特征，推出另类对象也具有这些特征的推理类比推理的思维过程如下观察比较联想类推猜测新的结论例在平面几何中有如下结论若正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则推广到空间几何可以得到类似结论若正四面体的内切球体积为，外接球体积为......”。