是由条线段所在直线外点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形四面体可以看作是由三角形所在平面外点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于点，且这个点是三角形内切圆的圆心解三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面三角形的中位线对应四面体的中截面以任意三条棱的中点为顶点的三角形，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球具体见下表三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的半，且平行于第三边四面体的中截面的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于点，且这个点是四面体内切球的球心多维探究解决此类问题，从几何元素的数目位置关系度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下平面图形点线边长面积线线角三角形平行四边形圆空间图形线面面积体积二面角四面体六面体球常见的从平面到空间的类比有以下几种情况，要注意掌握三角形类比到三棱锥例在平面几何里，有勾股定理设的两边，互相垂直，则，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是设三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则解析直角三角形的直角边长斜边长类比为直角三棱锥的侧面积底面积答案平行四边形类比到平行六面体例平面几何中，有结论平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和类比这结论，将其拓展到空间，可得到结论解析平行四边形的边对角线类比为平行六面体的棱对角线答案平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和圆类比到球例半径为的圆的面积，周长，若将看作，∞上的变量，则，式可以用语言叙述为圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为的球，若将看作，∞上的变量，请你写出类似于的式子，式可以用语言叙述为解析通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发现，从而使问题解决答案球的体积函数的导数等于球的表面积函数平面解析几何类比到空间解析几何例类比平面内点，到直线≠的距离公式，猜想空间中点到平面≠的距离公式为解析类比平面内点到直线的距离公式，易知答案应填答案随堂即时演练根据给出的等式猜测等于解析选由题中给出的等式猜测，应是各位数都是的七位数，即平面内平行于同直线的两直线平行，由此类比我们可以得到空间中平行于同直线的两直线平行空间中平行于同平面的两直线平行空间中平行于同直线的两平面平行空间中平行于同平面的两平面平行解析选利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比在平面上，若两个正三角形的边长比为∶，则它们的面积比为∶类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为∶，则它们的体积比为解析答案∶观察下列等式，„，根据上述规律，第五个等式为解析观察等式，发现等式左边各指数幂的指数均为，底数之和等于右边指数幂的底数，右边指数幂的指数为，故猜想第五个等式应为答案如图，已知是内任意点，连结并延长交对边于，则这是平面几何中的道题，其证明常采用面积法运用类比猜想，对于空间中的四面体，存在什么类似的结论并用体积法证明解如图，设为四面体内任意点，连接，并延长交对面于类似结论为类比平面几何中的面积法，可用体积法来证明因为其中，分别为两个四面体的高，同理所以是异面直线矛盾，所以假设因此与也是异面直线已知，证明方程没有负数根证明假设是的负数根，则且≠且，由⇒，解得，这与矛盾，所以假设不成立，故方程没有负数根推理与证明选择题本大题共小题，每小题分，共分观察下列各等式依照以上各式成立的规律，得到般性的等式为解析选观察分子中下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是∈是三角函数三角函数是周期函数∈是周期函数解析选按三段论的模式，排列顺序正确的是由正三角形的内切圆切于三边的中点可类比猜想正四面体的内切球切于四个面各正三角形内点各正三角形的高线上的点各正三角形的中心各正三角形外的点解析选正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心已知∈，∞，不等式，„，可推广为，则的值为解析选将四个答案分别用检验即可，故选下列四类函数中，具有性质对任意的，函数满足的是指数函数对数函数次函数余弦函数解析选当函数，≠时，对任意的，有，即指数函数，≠满足，可以检验，选项均不满足要求用火柴棒摆金鱼，如图所示按照上面的规律，第个金鱼图形需要火柴棒的根数为解析选归纳金鱼图形的构成规律知，后面金鱼都比它前面的金鱼多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，故各金鱼图形所用火柴棒的根数构成首项为，公差是的等差数列，通项公式为将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论④由≠可得则正确的结论有个个个个解析选平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确，由≠得，从而或⊥，故④观察下列事实的不同整数解，的个数为，的不同整数解，的个数为，的不同整数解，的个数为，„，则的不同整数解，的个数为解析选通过观察可以发现的值为时，对应的，的不同整数解的个数为，可推出当时，对应的不同整数解，的个数为，所以的不同整数解，的个数为观察下列各式，„，则解析选记，则通过观察不难发现∈则所以数列满足则等于解析选，∈，∈二填空题本大题共小题，每小题分，共分已知圆的方程是，则经过圆上点，的切线方程为类比上述性质，可以得到椭圆类似的性质为解析圆的性质中，经过圆上点，的切线方程就是将圆的方程中的个与分别用，的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆类似的性质为过椭圆上点，的切线方程为答案经过椭圆上点，的切线方程为已知，„，若，均为实数，请推测，解析由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减，由此推测中即，答案若定义在区间上的函数对于上的个值„总满足„„，称函数为上的凸函数现已知在，上是凸函数，则中，的最大值是解析因为在，上是凸函数小前提，所以结论，即因此，的最大值是答案观察下图„„则第行的各数之和等于解析观察知，图中的第行各数构成个首项为，公差为，共项的等差数列，其各项和为，令，得，解得答案三解答题本大题共小题，共分解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤本小题满分分本小题满分分观察由上面两题的结构规律，你能否提出个猜想并证明你的猜想解猜想证明如下，即本小题满分分本小题满分分已知的三边长分别为，且其中任意两边长均不相等，若成等差数列比较与的大小，并证明你的结论求证角不可能是钝角解证明如下要证，只需证，只需证成等差数列又均不相等，故所得大小关系正确证明法假设角是钝角，则由余弦定理得这与矛盾，故假设不成立所以角不可能是钝角法二假设角是钝角，则角的对边为最大边，即所以则，这与矛盾，故假设不成立所以角不可能是钝角本小题满分分本小题满分分我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢类比等比数列，请你给出等积数列的定义若是等积数列，且首项，公积为，试写出的通项公式及前项和公式解如果个数列从第项起，每项与它前项的乘积是同个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积由于是等积数列，且首项，公积为，所以，„，即的所有奇数项都等于，偶数项都等于，因此的通项公式为，为奇数为偶数其前项和公式，为偶数，，为奇数本小题满分分将数列中的所有项按每行比上行多项的规则排成如下数表„记表中的第列数„构成的数列为，为数列的前项和，且满足证明数列成等差数列，并求数列的通项公式上面数表中，若从第三行起，每行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同个正数当时，求上表中第行所有项的和解由已知，当时又„，所以，即，所以，又所以数列是首项为，公差为的等差数列由上可知，即所以当时，因此，设数表中从第三行起，每行的公比都为，且因为„，所以表中第行至第行共含有数列的前项，故在表中第行第三列，因此又，所以记表中第行所有项的和为，则三维设计学年高中数学第二章推理与证明学案新人教版选修合情推理与演绎推理合情推理归纳推理提出问题如图甲是第七届国际数学教育大会简称的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的连串直角三角形演化而成的，其中„，如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记„，的长度构成数列，问题试计算，的值提示由图知，问题由问题中的结果，你能猜想出数列的通项公式吗提示能猜想出∈问题直角三角形等腰三角形等边三角形的内角和都是，你能猜想出什么结论提示所有三角形的内角和都是问题以上两个推理有什么共同特点提示都是由个别事实推出般结论导入新知归纳推理的定义由类事物的部分对象具有些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出般结论的推理，称为归纳推理归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体由个别到般的推理化解疑难归纳推理的特点由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的般性结论也就越可靠类比推理