以及理论物理中的些问题。矩阵特征值的计算在矩阵计算中是个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。幂法是种计算矩阵主特征值的种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。其基本思想是任取个非零的初始向量。由所求矩阵构造向量序列。再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于个给定近似特征值的特征向量。本文中主要使用反幂法计算个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。关键词矩阵特征值特征向量冥法反冥法矩阵的特征值与特征向量计算矩阵的特征值与特征向量计算引言相关定理。符号说明冥法及反冥法冥法反冥法算法参考文献附录矩阵的特征值与特征向量计算第页共页引言在本论文中，我们主要讨论矩阵的特征值和特征向量的计算，我们知道，有很多现实中的问题都可以用到矩阵特征值与特征向量计算的知识，比如，在物理力学和工程技术方面有很多的应用，并且发挥着极其重要的作用因为这些问题都可归结为求矩阵特征值的问题，具体到些具体问题，如振动问题，物理中些临界值的确定问题以及些理论物理中的问题在本论文中，我们主要介绍求矩阵的特征值与特征向量的些原理和方法，原理涉及高得代数中矩阵的相关定理，方法主要介绍冥法及反冥法并利用算法的程序来求解相关问题，加以验证相关定理定理如果，是矩阵的特征值，则有定理设与为相似矩阵，则与有相同的特征值若是的个特征向量，则是的特征向量定理设，则的每个特征值必属于下述个圆盘之中，矩阵的特征值与特征向量计算第页共页定义设是阶是对称矩阵，对于任意非零向量，称为对应于向量的商定理设为对称矩阵其特征值次序记作，对应的特征向量组成规范化正交组，即则对于任何非零向量符号说明阶矩阵阶矩阵阶单位阵，矩阵特征值实数域上的维向量实数域上的维向量实属上的规范化向量冥法及反冥法冥法幂法是种计算矩阵的主特征值的种迭代法，它最大优点是方法简单，矩阵的特征值与特征向量计算第页共页适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值设，其特征值为，对应特征向量为，即且线性无关设特征值满足即为强占优幂法的基本思想，是任取个非零初始向量，由矩阵的乘幂构造向量序列称为迭代向量下面来分折关系与及由设为中个基本，于是，有展开式且设且有由假设式，则即矩阵的特征值与特征向量计算第页共页且收敛速度由比值确定且有这说明，当充分大时，有，或越来越接近特征向量下面考虑主特征值的计算用表示的第个分量，考虑相邻迭代向量的分量的比值，设从而是说明相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征，且收敛速度由比值来度量，越小收敛越快，但越小收敛越快，但，而接近于时，收敛可能很慢定理设个线性无关的特征向量设特征值满足幂法且则如果主特征值为实的重根，即有矩阵的特征值与特征向量计算第页共页又设有个线性无关的特征向量，其中，对于任意初始向量不全为零且则由幂法有且有，设，不全为零当由此，当充分大时，接近于与对应的特征向量的个线性组合应用幂法计算的主特征值及对应的特征向量时，如果或，迭代向量的各个不等于零的分量将随而趋于无究或趋于零，这样电算时就可能溢出为此，就南非要将迭代向量加以规范化设有非零向量等或归范化其中表示向量绝对值最大的元素，即如果有草药，则其中为所有绝对值最大的分量中最小指标显然有下面性性质设，为实数，则矩阵的特征值与特征向量计算第页共页在定理条件下幂法可改进为任取初始向量且迭代规范化，，，于是，由上式产生迭代向量序列及规范化向量且改进幂法计算公式为设且对于规范化迭代下面考查，与计算及的关系由且有其中当考查规范化向量序列由及式，则有矩阵的特征值与特征向量计算第页共页当考查迭代向量序列，当定理改进幂法设有个线性无关特征向量设特征值满足且，，由改进幂法得到式，则有且收敛速度由比值确定实现幂法，每迭代次主要是计算次矩阵乘向量，可编个子程序求矩阵按模最大特征值如下这个函数用于使用幂法求矩阵特征向量和特征值矩阵，初始向量，精度，记录上次迭代得到的特征值于是，矩阵的特征值与特征向量计算第页共页例为检验以上代码的正确性，我们使用以上代码计算以下矩阵的最大特征值和特征向量结果为例利用你所编制的子程序求如下矩阵从到阶按模最大按模最小的特征值及对应特征向量。解代码见附录，运行得到的结果如下矩阵的特征值与特征向量计算第页共页以上仅给出特征值的计算结果。特征向量见附录，这里给出阶的特征向量反冥法反幂法可用来计算矩阵按模最小的特征值及对应的特征向量设为非厅异矩阵，特征值满足对应特征向量，为线性无关，则特征求值为特征向量为因此计算的按模最小的特征值的部题就是计算按模最大的特征值部题对于应用幂法迭代称为反幂法，可求矩阵的主特征值矩阵的特征值与特征向量计算第页共页反幂法迭代公式任取初始向量且，其中迭代向量可通过解方程组求得如果有个线性无关特征向量且特征值满足则由反幂法构造的向量序列，满足且收敛速度由比值确定应用反幂法求个的似特征值对应的特征向量设已知的特征值的个近似值通常是用其它方法得到，现要求对应的特征向量近似，在反幂法中也可用原点平移法来加速收敛如果存在，显然，特征值为，对应的特征向量，矩阵的特征值与特征向量计算第页共页现取但不能取，且设与其它特征值是分离的，即，即，说明是的主特征值现对应用幂法得到反幂法计算公式取初始向量，且，与定理证明类似，可得下述结果定理设有个线性无关特征向量即取为特征值个近似值，设存在且则由反幂法迭代公式，构造向量序列，满足当当或当且收敛速度由比值确定由定理可知，反幂法计算公式可用计算特征向量选择是的个近矩阵的特征值与特征向量计算第页共页似且的特征值分离情况较好，般很小，所以迭代过程收敛较快，同时改进特征值反幂法迭代公式中是以通过解方程组求得为了节省计算量，可先将进行三角分解其中为置换阵，于是每次迭代求相当于求解两个三角形方程组可按下述方法取，即选使回代求解即求得反幂法计算公式分解计算，且保存，及信息反幂法迭代求，，求求对于计算对称三对角阵，或计算阵对应于个给定的近似特征值的特征向量，反幂法是个有效方法矩阵的特征值与特征向量计算第页共页使用编写个使用反幂法求矩阵最小特征值和特征向量的程序如下，为按模最小特征值，是对应特征向量相当于规范化初始向量按模最小为按模最大的倒数终止条件这两步保证取出来的按模最大特征值是原值，而非其绝对值。同样，取个矩阵进行测试计算结果为矩阵的特征值与特征向量计算第页共页例利用你所编制的子程序求如下矩阵从到阶按模最小的特征值及对应特征向量。代码见附录，程序结果如下图同样只给出阶时的特征值，具体结果见附录矩阵的特征值与特征向量计算第页共页参考文献姜启源，谢金星，叶俊编数学模型第三版北京高等教育出版社，王建卫，曲中水凌滨编著程序设计北京中国水利水电出版社，李庆扬，王能超，易大义编著数值分析第四版武汉华中科技大学出版社，矩阵的特征值与特征向量计算第页共页附录这个函数用来生成老师要求记算的那个矩阵，是指定阶数先全部初始化为设置主对角线上的值为设置主对角线傍边的两条斜线上的的值为这个函数用于使用幂法求矩阵特征向量和特征值矩阵，初始向量，精度，记录上次迭代得到的特征值这个程序用于求阶矩阵的特征值和特征向量生成要计算的矩阵生成初始微量矩阵的特征值与特征向量计算第页共页计算阶特征值输出特征值以下三句代码为输出特征值和特征微量阶使用反幂法求矩阵按模最小特征值，为按模最小特征值，是对应特征向量相当于规范化初始向量按模最小为按模最大的倒数终止条件这两步保证取出来的按模最大特征值是原值，而非其绝对值。这个程序用于使用反幂法求阶矩阵的特征值和特征向量阶特征值阶矩阵的特征值与特征向量计算第页共页使用幂法求矩阵最大特征值和特征向量结果阶阶阶阶矩阵的特征值与特