求值若，，求长解析由关于余弦定理可得，所以因为为四边形内角，所以，，且，再由正弦和差角公式可得再由正弦定理可得⇒点评知识正余弦定理及同角三角函数关系，两角差正弦公式能力通过对三角形分析求解，考查了推理论证能力以及分析解决问题能力通过求及边考查运算求解能力备选题例已知中，对边分届高三数学文轮总复习新课标课件第章三角函数平面向量与复数第讲文档定稿由题意，在中，，，故又，故由正弦定理得，解得在中，山东中，角所对边分别为已知，求和值解析在中，由，得，因为，所以因为，所以，可得为锐角，所以，因此由，可得又，所以在中，分别是角对边，如果，那么三边满足关系是，即为锐角，则为钝角，于是车在条水平公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧山顶在西偏北方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北方向上，仰角为，则此山高度解析先利用正弦定理求出，再在中求在两解解和无解三种可能利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形问题已知三边，求三个角容易得到在三角形中，大角对大边，大边对大角大角正弦值也较大，正弦值较大角也较大，即⇔⇔已知三角形两边及其边对角解三角形时，利用正弦定理，但要注意判断三角形解情况存得更多元素，再通过这些新条件解决问题利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题已知两角和任，当且仅当时取等号边上高最大值为点评正弦定理余弦定理三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限条件纳入到方程中，通过解方程组获，由正弦定理得，设边上高为，若，求边大小求边上高最大值解析即，，又容易得到在三角形中，大角对大边，大边对大角大角正弦值也较大，正弦值较大角也较大，即⇔⇔已知三角形两边及其边对角解三角形时，利用正弦定理，但要注意判断三角形解情况存，所以，可得为锐角，所以，因此若，，求长解析由关于余弦定理可得，所以因为为四边形内角，所以，，且解析由正弦定理得，已求第三边，再应用正弦定理求另两角必有解已知两边和其中边对角，先用正弦定理求出另两角，再由正，则如图，设两点在河两岸，测量者在同侧，在所在河岸边选定点，测出距离为，，后，就可以计算出两点距离为解析由正弦定理得，已求第三边，再应用正弦定理求另两角必有解已知两边和其中边对角，先用正弦定理求出另两角，再由正弦定理或余弦定理求第三边，可有两解，解或无解已知三边可应用余弦定理求对应三个角有解时，只有解三正余弦定理综合应用例如图，在平面四边形中，求值若，，求长解析由关于余弦定理可得，所以因为为四边形内角，所以，，且，再由正弦和差角公式可得再由正弦定理可得⇒点评知识正余弦定理及同角三角函数关系，两角差正弦公式能力通过对三角形分析求解，考查了推理论证能力以及分析解决问题能力通过求及边，得，因为，所以因为，所以，可得为锐角，所以，因此，得，因为，所以因为，所以，可得为锐角，所以，因此，得，因为，所以因为，所以，可得为锐角，所以，因此由，可得又，所以在中，分别是角对边，如果，那么三边满足关系是，即为锐角，则为钝角，于是，则如图，设两点在河两岸，测量者在同侧，在所在河岸边选定点，测出距离为，，后，就可以计算出两点距离为解析由正弦定理得，已求第三边，再应用正弦定理求另两角必有解已知两边和其中边对角，先用正弦定理求出另两角，再由正弦定理或余弦定理求第三边，可有两解，解或无解已知三边可应用余弦定理求对应三个角有解时，只有解三正余弦定理综合应用例如图，在平面四边形中，求值若，，求长解析由关于余弦定理可得，所以因为为四边形内角，所以，，且，再由正弦和差角公式可得再由正弦定理可得⇒点评知识正余弦定理及同角三角函数关系，两角差正弦公式能力通过对三角形分析求解，考查了推理论证能力以及分析解决问题能力通过求及边考查运算求解能力备选题例已知中，对边分别为，且，若，求边大小求边上高最大值解析即，，又，由正弦定理得，设边上高为，由余弦定理得，当且仅当时取等号边上高最大值为点评正弦定理余弦定理三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多元素，再通过这些新条件解决问题利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题已知两角和任边，求其他两边和角已知两边和其中边对角，求另边对角从而进步求出其他边和角由正弦定理容易得到在三角形中，大角对大边，大边对大角大角正弦值也较大，正弦值较大角也较大，即⇔⇔已知三角形两边及其边对角解三角形时，利用正弦定理，但要注意判断三角形解情况存在两解解和无解三种可能利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形问题已知三边，求三个角已知两边和它们夹角，求第三边和其他角已知两边和其中边对角，求其他边和角湖北如图，辆汽车在条水平公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧山顶在西偏北方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北方向上，仰角为，则此山高度解析先利用正弦定理求出，再在中求由题意，在中，，，故又，故由正弦定理得，解得在中，山东中，角所对边分别为已知，求和值解析在中，由，得，因为，所以因为，所以，可得为锐角，所以，因此由，可得又，所以在中，分别是角对边，如果，那么三边满足关系是，即为锐角，则为钝角，于是，则如图，设两点在河两岸，测量者在同侧，在所在河岸边选定点，测出距离为，，后，就可以计算出两点距离为解析由正弦定理得，已仰角为，则此山高度解析先利用正弦定理求出，再在中求由题意，在中，，，故又，故由正弦定理得，解得在中，山东中，角所对边分别为已知，求和值解析在中，由，得，因为，所以因为，所以，可得为锐角，所以，因此由，可得又，所以在中，分别是角对边，如果，那么三边满足关系是，即为锐角，则为钝角，于是，则如图，设两点在河两岸，测量者在同侧，在所在河岸边选定点，测出距离为，，后，就可以计算出两点距离为解析由正弦定理得，已知三边长分别为，且面积，则等于解析由得，在中则解析利用余弦定理解方程可得，再由正弦定理求在中，由余弦定理得，把代入可得因为，所以再由正弦定理得，解得在中则边上高等于解析设，在中，由余弦定理知，即即又，设边上高等于，由三角形面积公式，知，解得已知三个内角所对边分别为且，求度数若求面积解析，由正弦定理知是三角形内角从而有将代入得，利用两角和与差余弦公式展开得，由正弦定理得，面积为如图，在中，，为内点，若，求若，求解析由已知得，所以在中，由余弦定理，得故设，由已知得在中，由正弦定理，得，化简得所以，即在中，内角所对边分别为，且若求值若，且面积，求和值解析由题意可知由余弦定理得由，可得，化简得因为，所以由正弦定理可知又因为，故由于，所以，从而，解得，求第三边，再应用正弦定理求另两角必有解已知两边和其中边对角，先用正弦定理求出另两角，再由正弦定理或余弦定理求第三边，可有两解，解或无解已知三边可应用余弦定理求对应三个角有解时，只有解三正余弦定理综合应用例如图，在平面四边形中，求值若，，求长解析由关于余弦定理可得，所以因为为四边形内角，所以，，且，再由正弦和差角公式可得再由正弦定理可得第讲解三角形学习目标掌握正余弦定理，能利用这两个定理解斜三角形，进行有关计算基础检测中则等于解析由正弦定理，得，在中，分别是角所对边，已知，则或或解析由余弦定理得故选在中，分别是角所对边若面积为，则值为解析由已知得⇒，则由余弦定理可得⇒满足个数记为，则值为不确定解析由正弦定理，得或，满足条件三角形有个，即答案设内角所对边长分别为，若则角等于解析根据正弦定理可将化为，所以，代入可得，然后结合余弦定理可得，所以角知识要点正弦定理及变式∶∶∶∶余弦定理及变式三角形面积公式应用解三角形知识解决实际问题解题步骤根据题意画出示意图确定实际问题所涉及三角形，并搞清该三角形已知元和未知元选用正余弦定理进行求解，并注意运算正确性给出答案已知两边及其中边对角解三角形从理论上讲正弦定理可解决两类问题已知两角和任意边，求其他两边和角已知两边和其中边对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解情况比较复杂，可能无解，可能解或两解例如已知，和，用正弦定理求时各种情况三角形解个数例不解三角形，确定下列判断中正确是，有两解，有解，有两解，无解已知中若三角形有两个解，则取值范围是解析利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解个数可知选解法要使三角形有两解，则，且即，二三角形形状判定例在中，角所对边分别为，并且求证若，判断形状解析证明因为，即，所以在中，由余弦定理可得所以，或，而当时有即，代回已知得，此时，故，而也即故因为，所以，由可得所以所以为直角三角形点评本题主要考查正弦定理余弦定理三角形面积及三角恒等变换，特别注意正弦定理变形应用解三角形常见类型和解法已知两角和边，首先根据内角和求出第三角，用正弦定理求解有解时，只有解已知两边和夹角，先用余弦定理求第三边，再应用正弦定理求另两角必有解已知两边和其中边对角，先用正弦定理求出另两角，再由正弦定理或余弦定理求第三边，可有两解，解或无解已知三边可应用余弦定理求对应三个角有解时，只有解三正余弦定理综合应用例如图，在平面四边形中，求值若，，求长解析由关于余弦定理可得，所以因为为四边形内角，所以，，且，再由正弦和差角公式可得再由正弦定理可得⇒点评知识正余弦定理及同角三角函数关系，两角差正弦公式能力通过对三角形分析求解，考查了推理论证能力以及分析解决问题能力通过求及边考查