线几何性质是高考考查热点，多以小题形式出现，解题中要注意数形结合在双曲线几何性质中，应充分利用双曲线渐近线方程，简化解题过程，同时要熟练掌握以下三方面内容已知双曲线方程求它渐近线时，只需把换成，即可得渐近线方程求已知渐近线双曲线方程渐近线斜率与离心率关系，如三双曲线综合问题例已知双曲线条渐近线为，右焦点到直线距离为求双曲线方程斜率为且在轴上截距大于直线与曲线相交于两点，已知若，证明过三点圆与轴相切解析依题意有，曲线方程为设直线方程为，则中点为，由届高三数学文轮总复习新课标课件第章直线与圆圆锥曲线第讲页完稿，则焦点在轴上由已知双曲线方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置湖北将离心率为双曲线实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为双曲线，则对任意时，对任意当时，当时解析分别表示出和，利用作差法比较大小由题意，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，离心率因为，且，，所以当时，，即又焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏已知渐近线方程，求双曲线方程，可设双曲线方程为根据其他条件确定值若求得，则焦点在轴上若求得，故取值范围为，，由给定条件求双曲线方程，常将代入，得由直线与双曲线交于不同两点，得且，得，即，解得由得恒有两个不同交点和，且其中为原点，求取值范围解析设双曲线方，过三点圆与轴相切备选题例已知椭圆方程为，双曲线左右焦点分别是左右顶点，而左右顶点分别是左右焦点求双曲线方程若直线与双曲线得，即，舍或点横坐标为，将代入，得由直线与双曲线交于不同两点，得且，得，即，解得由得意，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，离心率线几何性质是高考考查热点，多以小题形式出现，解题中要注意数形结合在双曲线几何性质中，应充分利用双曲线渐近线方程，简化解题过程，同时要熟练掌握以下三方面内容已知双曲线方程求它渐近线时，只需把换成，即可得渐近线方程求已知渐近线双曲线方程渐近线斜率与离心率右焦点作条与其渐近线平行直线，交于点若点横坐标为，则离心率为解得即⊥在中，为中位线，所以⊥，，所以，即同理，当时，山东过双曲线右焦点作条与其渐近线平行直线，交于点若点横坐标为，则离心率为解得即⊥在中，为中位线，所以⊥，所以又由双曲线定义知，且，所以，解得，故选点评双曲线几何性质是高考考查热点，多以小题形式出现，解题中要注意数形结合在双曲线几何性质中，应充分利用双曲线渐近线方程，简化解题过程，同时要熟练掌握以下三方面内容已知双曲线方程求它渐近线时，只需把换成，即可得渐近线方程求已知渐近线双曲线方程渐近线斜率与离心率关系，如三双曲线综合问题例已知双曲线条渐近线为，右焦点到直线距离为求双曲线方程斜率为且在轴上截距大于直线与曲线相交于两点，已知若，证明过三点圆与轴相切解析依题意有，曲线和，利用作差法比较大小由题意，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，离心率因为和，利用作差法比较大小由题意，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，离心率因为和，利用作差法比较大小由题意，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，离心率因为，且，，所以当时，，即又，所以由不等式性质依次可得，，所以，即同理，当时，山东过双曲线右焦点作条与其渐近线平行直线，交于点若点横坐标为，则离心率为解得即⊥在中，为中位线，所以⊥，所以又由双曲线定义知，且，所以，解得，故选点评双曲线几何性质是高考考查热点，多以小题形式出现，解题中要注意数形结合在双曲线几何性质中，应充分利用双曲线渐近线方程，简化解题过程，同时要熟练掌握以下三方面内容已知双曲线方程求它渐近线时，只需把换成，即可得渐近线方程求已知渐近线双曲线方程渐近线斜率与离心率关系，如三双曲线综合问题例已知双曲线条渐近线为，右焦点到直线距离为求双曲线方程斜率为且在轴上截距大于直线与曲线相交于两点，已知若，证明过三点圆与轴相切解析依题意有，曲线方程为设直线方程为，则中点为，由得，即，舍或点横坐标为，，⊥过三点圆是以点为圆心，为直径，点横坐标为，⊥过三点圆与轴相切备选题例已知椭圆方程为，双曲线左右焦点分别是左右顶点，而左右顶点分别是左右焦点求双曲线方程若直线与双曲线恒有两个不同交点和，且其中为原点，求取值范围解析设双曲线方程为，则再由，得，故方程为将代入，得由直线与双曲线交于不同两点，得且，得，即，解得由得，故取值范围为，，由给定条件求双曲线方程，常用待定系数法，首先是根据焦点位置设出方程形式含有参数，再由题设条件确定参数值，应特别注意当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏已知渐近线方程，求双曲线方程，可设双曲线方程为根据其他条件确定值若求得，则焦点在轴上若求得，则焦点在轴上由已知双曲线方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置湖北将离心率为双曲线实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为双曲线，则对任意时，对任意当时，当时解析分别表示出和，利用作差法比较大小由题意，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，离心率因为，且，，所以当时，，即又，所以由不等式性质依次可得，，所以，即同理，当时，山东过双曲线右焦点作条与其渐近线平行直线，交于点若点横坐标为，则离心率为解右焦点则直线方程为因为点横坐标为，代入双曲线方程得，化简得或点在轴下方，故舍去，故点坐标为代入直线方程得，化简可得离心率设，是双曲线左，右焦点，是双曲线上点，且，则解析由题意可知，且点在右支上又，已知，为双曲线左右焦点，点在上则解析利用双曲线定义及余弦定理求解由知，又，又，由余弦定理得已知圆圆心是双曲线右焦点，且双曲线渐近线与圆相切，则该双曲线方程为解析如图，右焦点，渐近线与轴夹角为，故所求双曲线方程为，选已知双曲线两条渐近线夹角为，则双曲线离心率为解析如图，即，故离心率，选过双曲线右顶点作轴垂线，与条渐近线相交于点若以右焦点为圆心半径为圆经过，两点为坐标原点，则双曲线方程为解析如图，双曲线右焦点为，右顶点为，渐近线方程为也可设为，由题意知，以为半径圆过点⊥轴，为直线与渐近线交点，点坐标为，在中为等边三角形且边长为，为中点，双曲线方程为，故选设双曲线两个焦点为个顶点是则方程为解析依据双曲线标准方程用待定系数法确定，值由题意可知，双曲线焦点在轴上，且则，所以双曲线方程为已知双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线离心率是椭圆离心率两倍，则双曲线方程为解析由，知，焦点且椭圆离心率又双曲线与椭圆有相同焦点，双曲线离心率则从而故所求双曲线方程为已知抛物线顶点是双曲线中心，而焦点是双曲线左顶点当时，求抛物线方程若双曲线离心率，求双曲线渐近线方程解析设抛物线方程为，则依题意，得所以所以渐近线方程为已知中心在原点双曲线右焦点为右顶点为，求双曲线方程若直线，与双曲线交于不同两点，且线段垂直平分线过点求实数取值范围解析设双曲线方程为由已知得再由得，双曲线方程为联立整理得直线与双曲线有两个不同交点，，可得且设中点为，则由题意，⊥，，整理得将代入，得，又，即取值范围是，，得即⊥在中，为中位线，所以⊥，所以又由双曲线定义知，且，所以，解得，故选点评双曲线几何性质是高考考查热点，多以小题形式出现，解题中要注意数形结合在双曲线几何性质中，应充分利用双曲线渐近线方程，简化解题过程，同时要熟练掌握以下三方面内容已知双曲线方程求它渐近线时，只需把换成，即可得渐近线方程求已知渐近线双曲线方程渐近线斜率与离心率关系，如三双曲线综合问题例已知双曲线条渐近线为，右焦点到直线距离为求双曲线方程斜率为且在轴上第讲双曲线学习目标了解双曲线定义几何图形和标准方程，知道它简单几何性质基础检测双曲线上点到个焦点距离为，则到另个焦点距离为或解析设双曲线两个焦点分别为双曲线上点，不妨设，由双曲线定义知或，故选以为渐近线，个焦点是，双曲线方程为已知定点且，动点满足，则最小值是解析因为故满足条件点在双曲线右支上，则最小值为右顶点到距离双曲线实轴长与虚轴长之和等于其焦距倍，且个顶点坐标为则双曲线标准方程为解析，即，即双曲线个顶点坐标为即设分别为双曲线左右焦点，双曲线上存在点使得，则该双曲线离心率为解析由双曲线定义可得，从而可将已知等式转化为关于，方程，求出，之间关系，再将双曲线离心率用，表示即可根据双曲线定义，由可得，即，所以，解得负值舍去所以知识要点双曲线定义在平面内到两个定点，距离等于常数小于点轨迹叫做双曲线两定点叫做双曲线焦点，两焦点间距离叫做双曲线焦距双曲线标准方程两种形式分别表示中心在原点，焦点在轴，轴上双曲线之差绝对值,双曲线几何性质以表示双曲线为例范围，或对称性关于轴轴原点对称顶点离心率，渐近线方程或双曲线定义与标准方程例已知动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心轨迹方程与双曲线有共同渐近线，且过点求双曲线标准方程解析设动圆半径为，则由已知所以，又所以根据双曲线定义知，点轨迹是以，为焦点双曲线右支因为所以，故点轨迹方程是双曲线方程可设为，将点，坐标代入，得，故所求双曲线方程为点评利用两圆内外切圆心距与两圆半径关系找出点满足几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线两支当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，求方程时应分类讨论或者将方程设为，则焦点在轴上若，则焦点在轴上二双曲线几何性质例设双曲线右焦点为，过点作与轴垂直直线交两渐近线于两点，与双曲线其中个交点为，设坐标原点为，若，