模式的振动。模式模式模式模式图.压电振子的四种振动模式.定子行波的产生图.定子有限元模型图.超声电机相振型图.超声电机相振型如图.和图.定子沿圆周波数为的个正交模态的振型，可称作相和相。相振型和相振型在空间上相差个波长，相位相差，所以为正交模态，用振型函数,来描述这个振型可得相振型驻波方程.因为定子板为轴对称结构，和相振型相差任意角度的振型都振型，因此，选择与相振型相差，可得到相驻波方程.根据线性波叠加原理可得.由式.可知，定子这时由正向行波，反向行波和驻波构成。当时，即,相同频，等幅和空间时间上都超前时，此驻波叠加为个正向行波.当时，即,相同频，等幅和空间时间上都落后时，此驻波叠加为个反向行波.由此可得，定子内的行波是基于和固有频率的两个正交同振型在时间上相差作固有振动叠加成的。所以行波的有效激发条件是空间上相差时间上也相差。由此可见，只需改变两相驻波间激励时差，可以轻易的改变行波方向，从而能够实现超声电机的正反转。.定子表面质点运动分析行波的形成是超声电机转子运动的能量来源，而为了了解行波在转子中的运动，则需要对定子表面质点运行轨迹进行分析。对于带有带内支撑板的环形定子，因内支撑板较薄且质量小，故可以忽略支撑板的影响，视该定子为个环形薄板。另外，考虑到的定子环上的齿的宽度较小，故可忽略定子环的运动沿径向的变化，用定子环的平均半径即所对应的圆周面上的行波来表示定子的行波运动，这里，分别表示定子环的外径。显然，中径对应的圆周上的行波可描述为.式中，表示半径为的圆柱面上的弯曲行波波幅。为便于分析，现将半径为的圆柱面展开为矩形，同时给矩形赋与定厚度定子环的宽度，这样就得到个弹性等截面直梁，显然圆柱面和矩形面的几何对应关系为.将上式代入.后，可得.为了方便书写，引入记号.式中，为定子在半径为的圆周上的行波的波长。这样就得到了定子所对应的等截面弹性直梁的弯曲行波运动方程.直梁的波动状态如图.所示。下面考察弹性梁表面上的任意个质点。到定子中性层的距离为。在梁未发生弯曲变形前，该质点处于位置。在直梁产生图.弹性梁表面质点的椭圆运动分析行波弯曲振动后的第时刻，质点因其所处的横截面偏转而从位置运动到。利用图示几何关系，可求得质点在轴方向横向的位移量为.由于行波的波幅远小于行波波长，所以梁的截面的偏转角非常小，故可认为，这样有.可以看出，质点在轴方向上的位移为.同样，利用图.中的几何关系，可得到梁的弯曲而造成的截面偏角为.式.代入.后，可得到质点的纵向位移.结合考虑.和.，可推得弹性直梁表面质点的运动轨迹为.根据.，将上述运动方程映射到圆周面内，得到定子环表面质点的运动方程为.由.可知，此式符合椭圆的标准方程，因此定子端面上任意点都作椭圆轨迹运动。由于产生了椭圆运动。因此，在预压力的作用下，定子表面各质点会对转子产生摩擦驱动力而推动转子转动，而且转子的转动方向将与行波传播的方向相反，这就是行波超声电机的运动传递机理。从定子表面质点的运动方程可以看出当利用压电陶瓷的逆压电效应在弹性体上激励出了时间上空间上各相差的两个同频率等幅值的驻波时，经过线性叠加后，形成了行波，使得定子表面质点产生椭圆运动，其椭圆轨迹的长短轴之比为或者。.本章小结本章主要对超声电机的工作原理和结构进行分析，分析了压电陶瓷，定子，转子之间的关系和作用。同时对定子内行波产生的过程及条件进行了分析。并且分析了定子表面质点的运动轨迹，得到定子表面质点的轨迹方程，为后面的设计做好铺垫。保证后续的设计能够更加合理。定子模态分析计算.导言目前的超声电机定子上大多都加工了驱动齿。长期的试验证明，驱动齿可以提高定子的表面振幅和运动速度，使超声电机的工作效率大大提高。因为驱动齿的缘故，使用解析法求解工作模态和固有频率难度较大，使用传统方法简化求解后，结果与实际误差较大。因此可采用有限元分析法进行有限元分析。可采用有限元分析软件对定子进行固有频率模拟，再与理论计算值作对比，验证固有频率设计的合理性。这些分析结果将为后续的设计做铺垫，使设计出的电机更加科学合理。.固有频率的理论计算共振频率计算图为超声电机定子结构三维图。其中，驱动齿在计算过程中暂时忽略，简化为无齿定子，如图.所示图.定子三维结构图图.定子简化图假设方向的挠曲位移为，应用次函数及其系数，根据式，可表示为.其中振动常数为，满足.其中，为材料的杨氏模量为柏松比为单位长度的平均质量，即，为材料的密度为横截面的二次惯性矩，即，为截面宽度为压电振子的厚度，即。在式.和式.中，为与内径和外径等变量相关的系数，由边界条件确定。对于不同的，存在分别对应于半径方向不同节圆数的振动模态。对于的振动模态，由前面的式.，可得圆环的共振频率为.由图.可以看到金属圆环中开的尺槽，这是为了放大共振振幅和减小刚度，为了便于研究有齿定子特性，将图.所示的环形超声电机的定子展开复合梁如图.所示。考虑到复合梁是压电陶瓷及金属梁组成，在金属梁的上面有齿槽。所以直梁的共振频率计算公式需要做些适当的修改。由梁的弯曲理论可知，在中性层上所用正应力为零。根据此条件就可以确定中性层及中性轴的位置。在图.中，为压电陶瓷厚度，为金属梁厚度，为齿高，为齿宽，为梁宽。设金属梁和压电陶瓷的弹性模量为，从压电陶瓷底部至中性层距离为。由于在中性层上所有正应力为零，可得下式.式中，为金属梁和压电片的应变，根据上式可以得到.又因为复合梁的等效刚度为.式中为相对于中性层的惯性矩，即.备注式中被积分量是从中性轴算起。复合梁的平均密度为.也可以表示为.由以上各式整理得复合梁的共振频率的计算公式为.式中，为金属梁的长度。共振振幅的计算由第二章中的超声电机的工作原理可知超声电机的定子振动是由压电陶瓷受到电压的激励产生的。当在方向激励压电陶瓷片时，由于逆压电效应，可在方向产生应变，此应变对定子施加弯曲力矩，从而使定子产生弹性挠曲。定子在谐振时的弹性挠曲，即定子的振幅，可以用动态放大系数以静态弹性挠曲量来求得。图.等效简支复合梁图.复合梁的弯曲分析单元图.中是为环形行波超声电机定子展开而成的等效简支复合梁。其中，梁的长度为波长的半，即.压电陶瓷的厚度为金属梁的厚度为底部到中性层距离为。假设压电陶瓷的极化方向为的正方向，当沿的正方向施加电压，压电陶瓷将会在方向上产生弹性扩张，并且会在方向产生弹性收缩，由此引起复合梁向上挠曲。根据弹性动力学可知，在定的边界条件下，可以通过分析应力与应变的关系确定梁的弯曲曲率。根据这点，就可以确定在等效简支复合梁的最大偏移量。图.为复合梁的弯曲分析单元。从图上可以知道，当应力作用于梁的方向，梁的弯曲曲率半径为，沿着无应力中性面图.中的虚线的微小弧长为,则有.当梁的弯曲角度小于时，有.式中，为梁变形前中性层的微小单位为梁的挠曲幅值。设为方向上产生的应变，其表达式为.由力矩平衡可知由于无外力矩作用于梁上，应力函数与力臂相乘后沿等直梁剖面的积分为零，即.利用环形行波超声电机定子金属体和压电陶瓷中应力应变关系及简支梁的边界条件，可由上式导出简支梁在中点处的最大位移。用简支梁的最大横向位移乘以谐振时的品质因子即为简支梁的谐振振幅，也就是环形行波超声电机定子的振幅。.在上式中分别为定子金属体和压电陶瓷的刚度常数压电陶瓷的品质因子，为压电常数，为定子环平均半径，为定子环振动模态阶数，为电场强度。