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附录译文这个值是最大限度地相对于个过渡概率的最小化。

对于，而不是相对于目标值的最小化，同样是通过最小化达到相对率。

事实上，对右边等式进行简单的最小化，就得到力平衡方程即，朗之万方程没有随机力。

这是合理的，因为随机力为零意味着式是真实的平均值。

因此，我们从上可得可以有个变分泛函，其数量是个变量，这是相对率的最小化二这样的结果会保证最小平均力的平衡三同时最小化所产生的运动方程及相关边界条件，代表了最有可能的耗散过程。

最后声明基本上保证了在统计意义上，最有可能的动态过程的宏观观察。

对于多变量的般情况，可以简单地概括为式，在人工智能的场变量的情况下，应改为积分的总和，通过功能性衍生物的偏导数。

在式耗散系数矩阵元素的国家司法研究所必须的两项指标的交换对称，如图所示的昂萨格，基于微观可逆性。

昂萨格的原理的应用简单的例子考虑粘性时可压缩流体的运动方程便发生变化。

在这种情况下，粘性耗散简单表示为，其中是粘度系数。

在这个简单的例子中没有自由能量时变。

因此，变分泛函，这应该是相对最小化，与不可压缩性条件利用分部积分法，最大限度地减少关于.等价于下面最小化.。

可以通过使用拉格朗日乘子。

完成个简单的计算得到，这导致斯托克斯方程，我们已经确定了。

本文推导了斯托克斯方程的粘性耗散最小化与不可压缩性约束最初是由亥姆霍兹认为惯性效应可以包括要求动量平衡，在这种情况下，我们得到纳维斯托克斯方程。

变化的边界条件也有，由切向粘性应力积分的表面这里的下标表示正常的组件的边界和的切向分量，且已忽略式。

这是动力边界条件关键问题，这是的运动方程解的条件。

我们知道，无滑移边界条件般是在液固界面规则。

然而，作为固体壁面与流体都是由不同的分子间的相互作用，这是很自然的假设在液固界面存在些相同形式摩擦，式。

这样的假设并不定排除无滑移边界条件，但可以选择做个限制。

我们用个离散的式为适应粘性耗散的表达流固界面表示表面微分。

由于表示相对切向的流体层和固体边界之间的速度，这正是我们所称的滑移速度。

直接显示形式为擦耗散率在液固界面能。

直接显示形式摩擦耗散率在液固界面能，滑移系数为粘度长度。

因此，可以定义为滑移长度。

防滑边界条件的接触，让。

如果我们把式和该表面滑动耗散项和切向粘性应力边界条件的式相结合，我们得到的边界条件，提出近两个世纪前称为边界条件。

值得注意的是，如果我们让滑移长度为零，从而得到无滑移边界条件，然后滑动速度必须为零以及为了等式左边不偏离。

因此，无滑移边界条件是种限制的情况下式。

通过扩展昂萨格原理不混溶流体的流动的情况下在这种情况下，必须包括个免费的能量的时间变化项，从流体的流体和流体固体界面的能量产生的，它已被证明，得到解决的经典问题的移动接触线个广义边界条件。

此外，由此产生的连续流体力学可以首次在分子动力学模拟到分子水平定量协议流域预测产量。

然而，由于滑移长度般是在纳米尺度，无滑移边界条件可以作为个很好的近似的宏观流动。

从以上的昂萨格原理提出了种运动的水动力方程的推导统的框架以及相关的边界条件，虽然它并没有给相关的参数，这是特定于特定的模型的细节。

．电流变流体动力学许多的流体应用涉及到流中高剪切速率。

而的静态特性流体可以有效介电常数制定成功的研究流体的动态行为可以代表个具有挑战性的课题。

直接模拟涉及多个离散，电相互作用粒子将计算有限粒子数，因此难以适用于现实系统。

宾汉流体通常用于动态预测，其中动态剪切流，引起的应力为例，是由下式给出，其中表示的粘度，剪切速率与阈值的剪应力超过类似流体的行为恢复。

而模型清楚地捕捉到的动力学的重要元素，它没有考虑到经常观察到的剪切变稀行为和流变的电极配置的灵敏度。

下面我们描述两相连续模型为流体动力学模拟。

该模型产生自然的观察表明，电场作用下，固体颗粒相分离为两部分密列相，如图所示的液相。

在这个模型中的固体颗粒之间的电相互作用的基础上的处理引起的偶极相互作用，在弱电流变效应的限制有效。

这是在相反的静态性能更精确的处理通过有效介电形式主义。

通过对固体颗粒的数密度为场变量，我们推导运动方程通过使用昂萨格的变分原理。

结果指出，在个微弱的电流变效应对系统的实验结果吻合良好。

特别是，它表明，剪切变稀行为的二动力可以采用平面避免，交替的电极配置，其中可能有积极的影响，流体的应用。

.模型描述考虑相同尺寸的固体微球半径在我们的计算为微米，介电常数.，质量，悬浮油脂介电常数，粘度，密度。

由于和之间的差异，在外部磁场的存在下，由式得颗粒极化与感应偶极矩。

在这里，表示的局部电场，这是外加电场的埃克斯特的总和，加上其他所有的诱导偶极场，在微球体的位置。

后者的准确知识需要描述的诱导偶极子的空间分布，它代表了全球的自洽的解决问题的办法。

为了方便模型的建立，我们首先假定点偶极子位于微球的中心。

为了防止微球从重叠的空间，我们引入两个球我和之间的斥力的相互作用势，分别坐落在和，如，在选择个合适的能量常数。

除了规范的偶极偶极相互作用，这种排斥作用的长期注意也影响了致密的胶体粘度柱相。

第二，我们把集体的固体颗粒密度作为个字段变量，其中表示的无量纲，当地的固体微球的体积分数。

这对我们的模型组件用组件。

这显然不是个实体，而是个均质胶体柱相。

我们将这种密集的粘度模型胶态相作为个功能的，实验数据如下所示。

你可以写下组件的总能量，包括颗粒之间的相互作用的粒子和外部磁场之间的，作为个功能的当是偶极相互作用算子，和爱因斯坦求和约定之后在式，在重复指标意味着求和。

个的变化相对于导致，当是化学势的组件。

应当指出的是，在方程的右边第两个术语可以被解释为，当。

因为是个局部变量，这是个连续性方程，给出了，当是相速度，和是个对流扩散电流密度。

除了组件，该模型由个“”或液体成分，连同耦合项的特征的两个组件之间的耗散耦合。

在这里，我们首先给出完整的耦合运动方程的两相流模型。

他们的推导，经由昂萨格变分原理将在下面的部分了。

除连续性方程，耦合的运动方程阶段和给出了相与补充的不可压缩性条件。

应该指出，表示密集的胶体相速度，包括液体和固体颗粒。

因为两者都是可压缩的，因此。

这是可以区分的平均速度的固体颗粒密度的差异，不可能为零。

在式中，是当地的质量密度的阶段，和是在两个阶段的压力从能量的功能所产生的力密度，和的两个组成部分粘性应力。

当仅仅是流体的粘度，我们使用胶体粘度的浓度依赖性，被赋予后来的。

式和式中是个常数，特征的和“”的组件之间的相对阻力密度，在线性近似。

因此，如果我们只考虑斯托克斯的的流体阻力，则。

在式和，两个关键的表达，和将被指定。

这可以通过使用昂萨格原理，结合方程的形式。

和，如下所示。

推导了两相耦合的运动方程对的流体成分，同时给出了变分泛函，当，和是率的二次函数，给出了的能量耗散率结合的约束，这可以通过使用拉格朗日乘子实现。

在式，我们采用了集成的部件，以及最终要达到所期望的形式的不可压缩性条件。

在式，是个对流扩散电流耗散有关的摩擦系数。

对流扩散的形式耗散可以简单地实现，获得，其中表示的漂移速度。

作用于个单的微球的耗散力是。

因此，力密度是由给出，和每单位体积的能量耗散率是考虑到的因素直接导致公式的表达。

少的其他两个条款都是著名的粘性耗散和由两个部件之间的摩擦所造成的损耗，从变分泛函的最小化的速率导致所需的表达和斯托克斯方程的组件。

这是和，当。

方程的右手侧的比较和导致的结论是。

当惯性的影响是不可忽略的动量平衡方程，需要左边是由与取代，而这正是式。

对于摩擦系数，我们提出的斯托克斯阻力的形式，其中值得注意的是，粘度的应用是有效的胶体粘度的组件，图与固体颗粒的体积分数组成粘度变化。

该曲线显示匹配的变化通过固体密度的整个范围。

由于硬核排斥相互作用的不同的微球，将确定的“微球的漂移速度之间的部分。

这种有效粘度已经广泛研究的理论和实验研究的课题。

当固体颗粒密度小于，逼近可以用来表示粘度变化与。

在最低阶，粘度可以写为。

附近的随机密包，实验结果呈指数发散口.。

为了掩护的较低和较高的两端的固体密度，我们相匹配的逼近低体积分数和指数发散在更高的体积分数。

图显示匹配关系。

方程，这是更简单的比式，的昂萨格原理几乎相同的应用程序会导致理想的结果。

.模型预测与实验的比较上述方案的数值的解决方案由两个主要因素的流体动力学这两个部分耦合的流体动力学，与电相互作用。

几何中使用的是由两个板形成的通道，平行于平面，由距离分离在计算。

通道充满电流变液。

周期性边界条件在计算样本的边界沿方向施加。

沿方向的样本被视为个粒子厚。

种防滑边界条件用于在液固界面。

这是因为滑少量不会改变模型的主要结论。

上板被假定为是移动沿着方向恒定的速度，或与移动沿方向的些距离的增量在施加电场。

.数值实现有关问题的电气元件，通过局部电场，方程与局部电场。

在这里埃克斯特，是拉普拉斯方程与解，与当地的有效介电常数从麦斯威尔加内特方程.拉普拉斯方程可以通过指定的电极配置的解决，这可以是通常的恒电位在上下板，或叉指电极如下所示。

的初始配置需要被指定为启动过程。

然后是由最初让埃克斯特在式计算。

旦它得到的值，用于获得的新值，然后用公式获得个新的等等，直到达到致性。

几次迭代就够了。

数值，我们解决二维问题仅沿和方向的变化采用有限差分光谱分化沿方向，和明确的时间。

从个随机的初始配置，我们首先将外部的潜在问题，并与当地的领域因此通过等式得到如上所述是通过更新方程。

更新的是用于计算的通过等式，该过程被重复直到致性。

因此，从随机配置，很容易看到的形成链状列在组件，当施加外部磁场见下文。

这是直观的期望结果的外部磁场，所需要的能量。

个移动的上板的边界条件或位移增量分别应用，及耦合方程和，加上连续性方程，与不可压缩性条件求解。

两个和边界条件的非滑移条件的切向分量在上部和下部的边界，和零的正常成分。

从边界条件的对流扩散电流密度正常的组成部分是零在固体边界。

利用时步提出解决方案，在每个时间步迭代的电气解决方案以确保致性是实现在，我们得到的二动力学的时间演变.对纳维斯托克斯方程的求解采用有限差分方法进行的，与压力泊松法是相对标准。

.预测和实验验证图，我们表明，施加在两个平行电极的电场，该模型可以再现二剪切弹性行为的种静态屈服应力相关的临界应变，超出该流体的行为出现的。

剪切弹性柱的形成中所见到的镶嵌图的结果。

因此，这个模型可以恢复些的静态特性，在对比的模型，例如。

当顶板相对于底板产生流恒定速度移动，由此产生的剪切力对顶板经历绘制的插图中，如图的时间函数。

波动被看作反映列的再附着断裂。

时间平均应力曲线如图中的剪切速率的函数。

这种行为是非常相似的宾汉流体在低剪切速率下，外推的动态屈服应力比在图中显示的静态屈服应力较低的。

实验是在流的配置完成，具有不同的电极配置见插图和。

通过将分子