学 号 专业班级 数学班 指导教师 王敏秋 正文 外文资料译文 附 件 外文 资料 原文 指导教师评语 签名 年 月 日 范德蒙行列式的相关应用 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是          根据范德蒙行列式的特点，将所给行列 式包括些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。常见的化法有以下几种 所给行列式各列或各行都是元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质如提取公因式，调换各行或各列的次序，拆项等将行列式化为范德蒙行列式。 例 计算 解 中各行元素都分别是个数自左至右按递升顺序排列，但不是从 变到  。而是由 递升至 。如提取各行的公因数，则方幂次数便从 变到                  ,     例 计算      解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使 中各 列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第  列依次与上行交换直至第 行，第 行依次与上行交换直至第 行  第 行依次与上行交换直至第 行，于是共经过         次行的交换得到  阶范德蒙行列式     ,                      若 的第 行列由两个分行列所组成，其中任意相邻两行列均含相同分行列且 中含有由 个分行列组成的范德蒙行列式，那么将 的第 行列乘以 加到第  行列，消除些分行列即可化成范德蒙行列式 例 计算                               解 将 的第行乘以 加到第二行得                          再将上述行列式的第 行乘以 加到第 行，再在新行列式中的第 行乘以 加到第 行得                 例 计算           解 先加边，那么                    再把第 行拆成两项之和，                               加行加列法 各行或列元素均为元素的不同方幂，但都缺少同方幂的行列式，可用此方法 例 计算    解 作  阶行列式          由所作行列式可知 的系数为  ，而由上式可知 的系数为     通过比较系数得     拉普拉斯 展开法 运用公式 来计算行列式的值 例 计算       解 取第   行，第  列展开得           乘积变换法 例 设 , ,       ，计算行列式    解                       例 计算行列式          解 在此行列式中，每个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。根据行列式的乘法规则，   ， 其中          对 进行例 中的行的变换，就得到范德蒙行列式，于是                     升阶法 例 计算行列式         解 将 升阶为下面的  阶行列式            即插入行与列，使  是关于 ,  的  阶范德蒙行列式，此处 是变数，于是        故  是个关于 的 次多项式，它可以写成                另方面，将  按其第  行展开，即得       比较  中关于  的系数，即得       二 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 例 设 ,    若 至少有  个不同的根，则  。 证明 取  为 的  个不同的根，则有齐次线形方程组 ,                   其中  看作未知量 因为方程组 的系数行列式 是 行列式，且 ,     所以方程组 只有零解，从而有 ,     即是零多项式。 例 设 ,  是数域 中互不相同的数，  是数域 中任 组给定的不全为零的数，则存在唯的数域 上次数小于 的多项式 ，使 ，   证明 设 ,    由条件  ，   知 ,                       因为  互不相同，所以方程组 的系数行列式          则方程组 有唯解，即唯的次数小于 的多项式 ,     使得  ，   例 设多项式 ,    ,