1、“..... 关键词 幂级数马克劳林公式泰勒公式初等函数 幂级数是数学分析中的 个非常重要的内容，而且幂级数的应用也非常广泛，可以借助幂级数的展开形式，很容易的解决些较为复杂的问题，本文旨在研究幂级数的展开形式及其在初等函数的应用。 马克劳林 公式 幂级数实际上可以 视为多项式的延伸，因此在考虑函数 能否展开成幂级数时，可以从函数 与多项式的关系入手来解决这个问题为此......”。

2、“.....有直到  阶的导数，则在这个邻域内有如下公式         ,  其中 ,   称 为拉格朗日型余项称   式为泰勒公式 如果令  ，就得到      ，   此时， 数学分析原理 数学分析原理 , ......”。

3、“.....  称   式为马克劳林公式 公式说明，任函数 只要有直到  阶导数，就可等于个 次多项式与个余项的和 我们称下列幂级数         为马克劳林级数那么，它是否以 为和函数呢 若令马克劳林级数   的前 项和为  ，即      ， 那么......”。

4、“.....可知  于是，当  时，有  反之亦然即若  则必有  这表明，马克劳林级数   以 为和函数  马克劳林公式   中的余项  当  时 这样，我们就得到了函数 的幂级数展开式 数学分析原理 数学分析原理 ......”。

5、“.....也就是说，函数的幂级数展开式是唯的事实上，假设函数 可以表示为幂级数        ，   那么，根据幂级数在收敛域内可逐项求导 的性质，再令  幂级数显然在  点收敛 ，就容易得到     将它们代入   式，所得与 的马克劳林展开式   完全相同 综上所述......”。

6、“.....且在此区间内的马克劳林公式中的余项以零为极限 当  时 ，那么，函数 就可展开成形如   式的幂级数 幂级数       , 称为泰勒级数 二 初等函数的幂级数展开式 利用马克劳林公式将函数 展开成幂级数的方法，称为直接展开法 例 试将函数  展开成 的幂级数 解 因为   所以     ......”。

7、“.....   数学分析原理 数学分析原理 显然，   式的收敛区间为 ,  ，至于   式是否以  为和函数，即它是否收敛于  ，还要考察余项 因为 ,    ， 且 ， 所以 , ,   注意到对任确定的 值， 是个确定的常 数，而级数   是绝对收敛的......”。

8、“.....所以当  时，有 ,  ， 由此可知   这表明级数   确实收敛于  ，因此有         这种运用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，虽然程序明确，但是运算往往过于繁琐，因此人们普遍采用下面的比较简便的幂级数展开法 在此之前，我们已经得到了函数  ， 及 的幂级数展开式，运用这几个已知的展开式，通过幂级数的运算......”。

9、“..... 而 ,        ,   ， 所以根据幂级数可逐项求导的法则，可得 数学分析原理 数学分析原理 , , ,        ,   三 函数幂级数展开的应 用举例 幂级数展开式的应用很广泛......”。