1、“.....通常 记作 或 或 这些都是 很容易理解 的 。我们 同 样 也 熟悉 些有关导数的性质，例如   但是像这样的记号 或 者 又代表什么意思呢 大多数的读者 之前肯定 没有遇到 过导数的阶数是 的。 因为几乎没有任何教科书 会 提到它。然而，这个概念早 在 世纪， 已经开始探讨 。 在之后的岁月里，包括 , , 等 数学大家和其他些数学家也出现过或者研究过的概念。现在 ， 关于 分数微积分 的 文献 已经 大量 存在。近期 关于 分数微积分 的 两本研究生 教材也出版了 ， 就是参考文献 和 。此外，两 篇 在会议上发表的论文 和 也 被 收录 。 在文献 已编制了 些 可读 性较强，较易理解的资料 ， 虽然 这些都 还 没有 正式 出版......”。

2、“..... 而不是 像平常教科书里面的从定义 引理 定理的方法 介绍它。 我们 寻找了 个 新的 想法 去介绍 分数 阶 导数 。 首先 我们从 熟悉的 阶导数的例子 开始，比如  。 然后 用其他数字取 代 自然 数字 。 这种方式， 感觉 像 是 侦探 样 ， 步步深入。 我们将 寻求蕴含在这个 构思 里面的 数学结构。我们 在 探 讨了各种思路，对分数阶导数 的概念 后，才 对分数 阶 导数 给出 正式定义 。 如果想 快速浏览 它的 正式定义 ，请参见 米勒 的优秀论文，参考文献 。 随着 探究的深入 ，我们 会不时地让 读者去思考些问题。对这些问题的答案 将 在本文的最后节 呈现 。 那 到底什么是个分数 阶导数呢 让我们 起 来看看 吧 指数函数的分数阶导数 我们将首先研究指数函数 的导数 。 因为他们 导数的形式......”。

3、“.....我们熟悉 的导数的 表达式。   ， 在般情况下，当 为整数 时，  。 那么 我们能不能 用 取代 ，并记作  呢我们何不尝试下 为什么不更进步，让 是 个 无理数或 者 复数 比如 我们大胆地写 作  ， 对任意个  ， 无论是 整数， 有理数 ， 无理数 ， 还是复数 。当  是负整数 时， 考虑 式的 意义是 很 有趣的。我们 自 然希望 有  成立。因为  ，所以我们有   。同理    。 当  是负整数 时，我们将  看作是 次迭代 的 积分是合理。 当  是正实数，  代表导数......”。

4、“.....  代表积分。 请注意，我们还没 对 般 函数给出 分数 阶 导数的定义。但是，如果这定义被发现，我们期望指数函数 的分数阶导数 遵循关系 式 。我们注意到，刘维 尔 在他的论文 和 中就是 采用这种方法 去考虑微分的 。 问题 问 题 在 上述 情况下 ，    成立吗 问题 在 上述 情况下 ，     成立吗 问题 上述   和    ， 真的 正确吗还是 遗漏 了些东西 问题 用蕴含在 式 的想法 ，怎样对般性的函数求分数阶导数 三角函数正弦函数和余弦函数 我们 对于 正弦函数的导数很熟悉 ,     这 些对于寻求 ，并 没有明显的 规律。 但 是......”。

5、“.....会挖掘出其中的规律 。 即 每 当 我们 求次微分 ， 的 图像向 左 平移  。 所以对 求 次微分，那么得到的图像就是 向 左 平移  ， 即得到 。如前， 我们 用任意数  替换正整数 。所以，我们 得到 正弦 函数的任意  次导数的表达式 ， 同理我们也得到 余弦 函数的 ,         在 得到表达式 之后 ， 我们 自然 想 ， 这个 猜测与指数 函数的 结果 是否保持 致。 为了验证这个猜测 ，我们可以使用欧拉 公式 。利用表达式 ，我们可以计算 得 到             ，这与 式是吻合的......”。

6、“..... 我们 以 为例 有         表达式 用连乘 , 的 分子 和 分母 去替 换，则得到 结果 如下 , ,            上式就是 的般表达式 。 我们 通过伽玛 函数 ，用任意数  替换正整数 。当 式中的 和 是不是自然数 时，伽玛 函数 使他们在替换后任然有意义 。伽马函数 是 欧拉 在 世纪 引进的概念 。当时是推广记号当 不是 整数 时。 它 的定义是   ，它 具有 这 样的性质 ,......”。

7、“.....    这使得当 不是整数 式， 式还是 有意义的 。 所以 对于任意的  ， 我们 写作       利用 式 ，我们 可以将 分数 阶 导数 延伸到很多的函数 。 因为对于任意给定的函数，我们可以利用 级数展开 成多项式 的形式， , 假设我们 可以对 进行任意次微分，那么我们得到        最终 那个 表达式 呈现出具有 作为 分数阶导数定义候选项的气质。因为大量的函数都 可以利用 公式展开成幂级数的形式。然后， 我们很快会 发现 它 会导致矛盾的产生 ......”。

8、“..... 看看他们是否 致 。 从 级数 来看， 结合 式，我们得到如下表达式     但是， 及 是 不 等价的 ，除非  是 整数 。 当  是整数 时 ， 式的 右侧是 的级数形 式，只是用不同的表达方式。但是当  不 是 整数时，我们得到两个完全不样的函数。 我们发现 了 历史上 引起大问题 的矛盾。 这 看 起 来好像我们 ， 指数 函数 的分数 阶 导数 的 表达 式 与次方函数的分数阶导数的 公式 是相互矛盾 。 正是因为有这样个矛盾，所以分数阶微积分般不会出现在初等阶段的教科书里面。 在传统的微积分 中 ， 导数的次数是整数次的 ， 求导的 函数是初等函数。不幸的是， 在 分数 阶 微积分 中，这是不正确的 。 通常......”。

9、“..... 关于 分数阶导数 的 表 格 ，请参阅 文献 。 此时，您可能会问 我们 怎么 继续探究呢 这个谜团将在 之后 的部分 中被 解决。敬请关注 多重迭代积分 我们直在谈论 导数 。积分也 是反复被提及的 。我们可以写    ，但 是等式 右边是 不 确 定 的 。 我 们 可以 写 作   。 第二 次 积分 可以写成    。积分区域 是图 中 的三角形。如果我们交换 积分 的顺序， 那么图 的 右侧 图可以表现出    。 因为 不是 个关于 的函数，所以 可以 将里面的 积分 移到 外面 ，即       或者  ......”。