的宽度为，即与之间的函数关系式为根据题意，得，整理，得，解得，舍答横彩条的宽度为，竖彩条的宽度为.试题解方程.错解解，两边同时除以，得，.解，左边因式分解，得，两边开平方，得，.解，配方，得，两边开平方，得，剖析解方程时，方程两边同时除以含的代数式破坏了方程的同解性，遗失了个根解方程，在开平方时，由于只取了个算术平方根，这样就把未知数的取值范围缩小了，遗失了个根解方程时，解得的结果应写成.正解解，或解，左边因式分解，得，两边开平方，得，即或解，配方，得，两边开平方，得.泸州关于的元二次方程有实数根，则的取值范围是．．点评对于元二次方程的根的情况的描述，必须借助根的判别式，方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，反之亦然．另外，切记不要忽略元二次方程二次项系数不为零这隐含条件．对应训练．衢州已知关于的元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是巴中定义新运算对于任意实数，都有，等式右边是常用的加法减法乘法及乘方运算．例如.根据以上知识解决问题若的值小于，请判断方程的根的情况．解的值小于解得.在方程中方程有两个不相等的实数根．例黄冈若方程的两个实数根分别为则南充已知关于的元二次方程有实数根．求的取值范围如果方程的两个实数根为且，求的取值范围．解根据题意得，解得教育经费万元，年投入教育经费万元．求年至年该地区投入教育经费的年平均增长率按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到年需投入教育经费万元，如果按中教育经费投入的增长率，到年该地区投入的教育经费是否能达到万元请说明理由．参考数据，，，解设增长率为，根据题意年为万元．则，解得.，或.不合题意舍去．答这两年投入教育经费的年平均增长率为.年该地区投入的教育经费是.万元，答按中教育经费投入的增长率，到年该地区投入的教育经费不能达到万元．对应训练．毕节个容器盛满纯药液，第次倒出若干升后，用水加满第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液，则每次倒出的液体是.点拨设每次倒出液体，由题意得，解得舍去或.故每次倒出的液体是.包头幅长宽的图案，如图，其中有横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为∶.设竖彩条的宽度为，图案中三条彩条所占面积为.求与之间的函数关系式若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横竖彩条的宽度．解根据题意可知，横彩根据题意得而，所以，解得，而，所以的取值范围为点评先利用元二次方程的根的判别式来求出的取值范围根据根与系数的关系得到再利用得到，然后解不等式和利用中的结论可确定满足条件的的取值范围．对应训练．威海已知，是关于的方程的两实数根，且，则的值是鄂州关于的方程.求证无论为何值，方程总有实数根．设，是方程的两个根，记，的值能为吗若能，求出此时的值若不能，请说明理由．解当时，原方程可化为，解得，此时该方程有实数根当时，方程是元二次方程，当时，方程总有实数根，综上所述，无论为何值，方程总有实数根．由根与系数关系可知，若，则，即，将，代入整理得，解得舍或，的值能为，此时例贺州地区年投，都是运用了转化思想，把待解决问题元二次方程通过转化，归结为易解决问题元次方程解元二次方程时，方程两边不能同时约去个相同的式子，因为这个式子可能是，造成漏解．在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．运用根与系数的关系时，只有在时才能使用正确理解“方程有实根”的含义．若有个实数根则原方程为元次方程若有两个实数根则原方程为元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”新疆元二次方程配方可变形为．舟山元二次方程的根的情况是．有两个不相等的实数根．有两个相等的实数根．只有个实数根．没有实数根．金华元二次方程的两根为则下列结论正确的是．，．，．烟台若，是元二次方程的两个根，则的值为．台州有支球队参加篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛场，则下列方程中符合题意的是例解下列方程淄博.解，或对应训练．用指定的方法解下列方程直接开平方法配方法山西因式分解法.公式法解移项，得，二次项系数化为，得，配方由此可得方程变形得.分解因式得，解得，例数学第讲元二次方程及其应用浙江专用．定义及般形式只含有，并且未知数的最高次数是，这样的整式方程叫做元二次方程．般形式解法首先考虑其次考虑，公式元二次方程的求根公式．个未知数是已知数，直接开平方法因式分解法配方法公式法．元二次方程的根的判别式对于元二次方程⇔方程有两个的实数根⇔方程有两个的实数根⇔方程实数根．⇔方程有实数根元二次方程的根与系数的关系若元二次方程的两根分别为则有，．不相等相等没有．元二次方程的应用列元二次方程解应用题的步骤和列元次方程组解应用题的步骤样．常见类型增长率问题利润问题几何问题．增长率中的等量关系增长率增长量基础量设为原来量，当为平均增长率，为增长次数，为增长以后的量，则有当为平均下降率，为下降次数，为下降以后的量，则有.利润问题中的等量关系利润售价成本利润率利润成本几何问题中的等量关系常见几何图形的面积体积公式使用元二次方程的根的判别式及根与系数的关系时，必须将元二次方程转化为般式，以便确定的值元二次方程的解法，直接开平方法配方法公式法因式分解法，的宽度为，即与之间的函数关系式为根据题意，得，整理，得，解得，舍答横彩条的宽度为，竖彩条的宽度为.试题解方程.错解解，两边同时除以，得，.解，左边因式分解，得，两边开平方，得，.解，配方，得，两边开平方，得，剖析解方程时，方程两边同时除以含的代数式破坏了方程的同解性，遗失了个根解方程，在开平方时，由于只取了个算术平方根，这样就把未知数的取值范围缩小了，遗失了个根解方程时，解得的结果应写成.正解解，或解，左边因式分解，得，两边开平方，得，即或解，配方，得，两边开平方，得.教育经费万元，年投入教育经费万元．求年至年该地区投入教育经费的年平均增长率按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到年需投入教育经费万元，如果按中教育经费投入的增长率，到年该地区投入的教育经费是否能达到万元请说明理由．参考数据，，，解设增长率为，根据题意年为万元．则，解得.，或.不合题意舍去．答这两年投入教育经费的年平均增长率为.年该地区投入的教育经费是.万元，答按中教育经费投入的增长率，到年该地区投入的教育经费不能达到万元．对应训练．毕节个容器盛满纯药液，第次倒出若干升后，用水加满第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液，则每次倒出的液体是.点拨设每次倒出液体，由题意得，解得舍去或.故每次倒出的液体是.包头幅长宽的图案，如图，其中有横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为∶.设竖彩条的宽度为，图案中三条彩条所占面积为.求与之间的函数关系式若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横竖彩条的宽度．解根据题意可知，横彩