值最小，点与点关于轴对称，设直线的解析式为，把，代入得解得直线的解析式为，当时解得，则作⊥于，如图，，，，点的坐标为，．试题如图，正方形的顶点与正三角形的顶点重合，将绕其顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小是．错解解析正方形与正三角形的顶点重合≌，.，，.剖析正三角形可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．正解或点拨当正三角形在正方形的内部时，如图，正方形与正三角形的顶点重合≌，.，，当正三角形在正方形的外部时，如图，正方形与正三角形的顶点重合≌，，，，.故答案为或.判定四边形的形状并说明理由．证明是等腰三角形，将等腰绕顶点逆时针方向旋转度到的位置，，在与中，，≌．解四边形是菱形，将等腰绕顶点逆时针方向旋转度到的位置，，，，，，，，，，四边形是平行四边形四边形是菱形．与旋转有关的作图例聊城如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，．若经过平移后得到，已知点的坐标为写出顶点，的坐标若和关于原点成中心对称图形，写出的各顶点的坐标将绕着点按顺时针方向旋转得到，写出的各顶点的坐标．解如图，为所作，因为点，平移后的对应点的坐标为所以先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，所以点的坐标为点的坐标为因为和关于原点成中心对称图形，所以中点，⊥，平行四边形为矩形，，为的中点四边形为正方形．点评本题主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键．对应训练．天津在平面直角坐标系中，为原点，点点把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为点记旋转角为.如图，若，求的长如图，若，求点的坐标在的条件下，边上的点旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点的坐标．直接写出结果即可解如图，点点，绕点逆时针旋转，得，为等腰直角三角形作⊥轴于，如图，绕点逆时针旋转，得，，在中，点的坐标为绕点逆时针旋转，得，点的对应点为，作点关于轴的对称点，连结交轴于点，如图，则，此时如图，为所作．点评本题考查了坐标系中的旋转图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如.对应训练．厦门如图，在中，，将绕点顺时针旋转，若点，的对应点分别是点画出旋转后的三角形，并求点与点之间的距离．不要求尺规作图解如图，在中，将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别是点，，.轴对称平移旋转的综合应用例东营如图，两个全等的和重叠在起，固定，将进行如下变换如图，沿直线向右平移即点在线段上移动，连结.请直接写出与四边形的关系如图，当点平移到线段的中点时，若四边形为正方形，那么应满足什么条件请给出证明．解四边形，理由由题意可得，则，故，则四边形为等腰直角三角形，即，，理由如下为的中点又，四边形为平行四边形为的宜宾如图，在中，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则，两点间的距离为．贺州如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么，的对应点的坐标是．，．，．，．，．温州如图，将绕点按顺时针方向旋转至，使点落在的延长线上．已知，，则度．识别中心对称图形例临夏州下列图形中，是中心对称图形的是点评把个图形绕着个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这样的图形才是中心对称图形．对应训练．内江下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是根据旋转的性质解决问题例大连如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若则.潍坊如图，在菱形中，过点作⊥于点，⊥于点.如图，连结分别交，于点求证如图，将以点为旋转中心旋转，其两边，分别与直线，相交于点连结，当的面积等于时，求旋转角的大小并指明旋转方向．证明连结，交于图略，在菱形中，为等边三角形，⊥同理解，，，又，，当顺时针旋转时，由旋转的性质可知，，，在和中，，≌为等边三角形，的面积，解得负值舍去，则，，当顺时针旋转时，的面积等于，同理可得，当逆时针旋转时，的面积也等于，综上所述，将以点为旋转中心，顺时针或逆时针旋转时，的面积等于.点评掌握旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角旋转前后的图形全等是解题的关键．对应训练．吉林如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连结交于点，则与的周长之和为.娄底如图，将等腰绕顶点逆时针方向旋转度到的位置，与相交于点，与，分别交于点，.求证≌当度时，数学第讲图形的旋转浙江专用．旋转概念把个图形绕着个点转动定角度的图形变换叫做，定点叫做，旋转的角度叫做，如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.三要素旋转中心旋转方向和旋转角度性质对应点到旋转中心的距离对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转前后的图形全等.旋转旋转中心旋转角相等旋转角.中心对称和中心对称图形名称中心对称中心对称图形定义把个图形绕着点旋转，如果得到的图形与原来的图形重合，那么这两个图形成中心对称，该点叫做把个图形绕着点旋转，如果旋转后的图形与原图形，那么这个图形叫做中心对称图形，该点叫对称中心性质中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被所平分对称中心重合对称中心．在描述旋转时，必须指出它是顺时针还是逆时针旋转多少度，不能只说旋转多少度旋转前后图形上的每点都绕着旋转中心转了同样的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．要正确利用旋转的性质，抓住其中的不变量是解决问题的关键．在网格中找旋转后的图形可以分部分进行呼和浩特将数字旋转，得到数字，将数字旋转，得到数字，现将数字旋转，得到的数字是．湖州为了迎接杭州峰会，校开展了设计图标的活动，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是．值最小，点与点关于轴对称，设直线的解析式为，把，代入得解得直线的解析式为，当时解得，则作⊥于，如图，，，，点的坐标为，．试题如图，正方形的顶点与正三角形的顶点重合，将绕其顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小是．错解解析正方形与正三角形的顶点重合≌，.，，.剖析正三角形可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．正解或点拨当正三角形在正方形的内部时，如图，正方形与正三角形的顶点重合≌，.，，当正三角形在中点，⊥，平行四边形为矩形，，为的中点四边形为正方形．点评本题主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键．对应训练．天津在平面直角坐标系中，为原点，点点把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为点记旋转角为.如图，若，求的长如图，若，求点的坐标在的条件下，边上的点旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点的坐标．直接写出结果即可解如图，点点，绕点逆时针旋转，得，为等腰直角三角形作⊥轴于，如图，绕点逆时针旋转，得，，在中，点的坐标为绕点逆时针旋转，得，点的对应点为，作点关于轴的对称点，连结交轴于点，如图，则，此时