1、论元多项式的最大公因式,进而讨论元高次方程组的解的判定方法并希望将其推广到多元高次方程组的解的判定上这个方法,实际应用很大比如,在固体激光器镜折叠腔的设计中,就涉及到元高次方程组的解目录前言第章元高次方程组解的判定方法问题的提出解决问题的思路元多项式公因式的新求法元多项式的公因式求法公因式判定元高次方程组的解元高次方程组的解的个数判定结论第章元高次方程组解的判定方法的应用判定方法的应用元高次方程组解的求法固定个数解的求法无穷多个解的求法结束语参考文献致谢前言数学是现行教育的重要组成部分,数学思想方法向切领域渗透,数学的应用越来越被社会所重视近年来,各大学都创立了数学建模协会,用数学视野来解决日常生活中所遇到的困惑数学建模的思想很简单,即将个实际问题转化为数学模型,建立些可行数学方程,找到方程的解但是,方程的解并不是容易找出的那么个方程是否有解,在求解前预先知道就尤为重要了简单的线性方程组的解的个数的判定方法,已基本上完全解决了,即将其增广矩阵化为阶梯阵进行比较判断,元线性方程组的解的个数是可以通过矩阵初等行变换预先判断的设线性方程组的系数矩阵为,增广矩阵为,则个数判定见参考文献随着科学技术的发展,电脑的使用越来越广泛了有人用数学软件如。

2、项式,不妨记为若,,则该元高次方程组有无穷多组解若,为非零的复常数,则该元高次方程组无解若,是非常数的多项式则方程组有固定解,将满足的值代回原元高次方程组,即可求出,从而,得出原方程组的全部固定解但是,结式,是个阶行列式,其中的每个元都是的复系数多项式计算起来,比较麻烦而且要得出方程组的固定解的具体个数,需要逐求出可不可以不通过计算结式就可以判断元高次方程组的解的个数呢解决问题的思路由于,是否有解与是否有公因式是致的故可从寻求的非常数公因式出发探讨元高次方程组的解的个数的判别问题元多项式公因式的新求法定义由„„,„„排成行列的个矩阵称为数域上的元程组求出,设这样所得的对应解组有组则原方程组有组固定解第章元高次方程组解的判定方法的应用判定方法的应用例判断的解解若以为主元,则则其系数矩阵倍斜加到第行第行的倍加到第行第行的由结论,,因而,原方程组无解若以为主元,则有则其系数矩阵。

3、必为的公因式在变换过程中出现后种情况,则若且不含因式多项式,则记,为原方程组的公因式若为常数说明无论取何值,都不可能使,故,无公因式若,则存在使得如果,则记,为的公因式公因式判定元高次方程组的解显然,,有解的充要条件是其最大公因式,则若或,则任给个,存在使得,故,有无穷多组解也就是,有无穷多组解若第行的行第行的倍斜加到第倍加到第行第行的因此,与的个最大公因式为由于允许多项式的最大公因式相差非零常数倍,因此上面两种办法求出来的最大公因式都是该多项式的最大公因式元多项式的公因式求法为了适用面的广泛性,我们看复系数的元高次方程组先把方程组中个方程的左端都以为主元按降幂排列得,其系数矩阵为个元多项式矩阵像前面元高次方程组样,可采用矩阵广义消法变换找出,的个最大公因式注对施行矩阵广义消法变换需作以下几点补充说明矩阵的行可乘以个多项式矩阵的行的多项式倍斜加到另行变换过程中出现形如,则变换停止其中,均为复数域上的多项式设系数矩阵经系列的矩阵广义消法变换可得到有相。

4、第行斜加到第行倍加到第行第行的由结论,,因而,原方程组无解从上面不同主元判断的解均可知道,原方程组无解例判断的解解若以为主元,则高次方程组的解的个数例如,王国炳的题名为结式的计算新方法与应用的文章,利用辗转相除法和矩阵的第种初等行变换得出的种计算结式的新方法见参考文献沈艳萍的题名为结式的种计算方法的文章,利用带余除法和结式的计算公式给出的种计算结式的种初等方法见参考文献这种方法专用于解决复数域上两个多项式是否有公共零点的问题,若遇到元高次多项式,计算起来还是很麻烦的由于元高次方程组是否有解与元高次方程组是否有公因式是致的因此,也有数学爱好者从寻求元高次方程组的公因式入手比如,保定中的刘再进利用辗转相除法,来求两个元高次方程组的最大公因式见参考文献,这种方法比起前面通过计算结式来讨论元高次方程组的解的个数要方便但是,在使用辗转相除法求元多项式的公因式时,书写起来很麻烦占用很多篇幅因此,有人试着简化辗转相除法的计算郁金祥在多项式最大公因式求解方法的推广的文章中,通过引入多项式的矩阵概念,提供了多个多项式最大公因式直接求解的方法见参考文献,但他讨论的范围仅限于元高次多项式本文通过引入多项式的矩阵概念,来讨。

5、第行,则原式第行乘以倍加到第行第行的倍加到第行第行的倍加到第行第行的数学与应用数学专业毕业论文二元高次方程组解的判定则其系数矩阵倍加到第行第行的倍第行的第行斜加到第行倍加到第行第行的由结论,,,因而,原方程组有无穷多组解若以为主元,则有则其系数矩阵第行加到第行第行的第行斜加到第行倍加到第行第行的由结论,,,因而,原方程组有无穷多组解从上面不同主元判断的解均可知道,原其中,是的多项式则其结式,为它是个的复系数多。

6、年月日年月日完成论文初稿手写稿年月日年月日完成论文修改稿年月日年月日完成论文定稿年月日年月日论文答辩年月日年月日摘要本文通过类比线性方程组的解的个数的判定,研究了元高次方程组的解的判定问题再引入矩阵广义消法变换的概念,及寻求元高次多项式则的个最大公因式为,,不含因式,因而的个最大公因式是,这个例子说明用矩阵广义消法变换求两多项式的最大公因式时,不能忽略变换过程中引入的多项式若为常数,则说明无论取何值,都不可能使,故,无公因式若为非常数的多项式,按照前面寻求元高次方程组的办法,可知则使若中至少有个不为,不妨记角标最小的为则记,必为的公因式在变换过程中出现后种情况,则若且不含因式多项式,则记,为原方程组的公因式若为常数说明无论取何值,都不可能使,故,无公因式若,则存在使得如果,则记,为的公因式公因式判定元高次方程组的解显然,,有解的充要条件是其最大公因式,则若或,则任给个,存在使得,故,有无穷多组解也就是,有无穷多组解若第行的行第行的倍斜加到第倍加到第行第行的因此,与的个最大公因式为由于允许多项式的最大公因式相差非零常数倍,因此上面两种办法求出来。

参考资料：

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