1、解由，，得定义域为,关于原点对称为奇函数时当时当时也满足故该函数为奇函数考点多维探究考点函数奇偶性的应用回扣教材函数奇偶性的五个重要结论如果个奇函数在处有定义，即有意义，那么定有如果函数是偶函数，那么既是奇函数又是偶函数的函数只有种类型，即，，其中定义域是关于原点对称的非空数集奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大小值，取最值时的自变量互为相反数奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数对称性的三个常用结论若函数是偶函数，即，则函数的图象关于直线对称若对于上的任意都有或，则的图象关于直线对称若函数是奇函数，即，则函数关于点中心对称,小题快做思考辨析若函数是奇函数，则函数的图象关于点,对称教材改编已知函数是定义在上的偶函数，若在，上是减函数，则在，上是增函数若函数为奇函数，则山东高考已知函数为奇函数，且当时则解析因为函数为奇函数，所以故选已知是定义在,上的偶函数，那么的值是解析为偶函数，所以，所以即恒成立，即，又得，故选教材改编已知函数是定义在上的奇函数，当时则，于是，得函数的奇偶性结合函数图象以及其他性质的考查是高考中的个热点命题，常以选择题填空题的形式呈现，难度般不大，且主要有以下几种命题角度命题角度已知函数的奇偶性求函数值典例湖南高考已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则解析令得分别是偶函数和奇函数，即命题角度已知函数的奇偶性求解析式典例江苏高考已知是定义在上的奇函数，当时则不等式的解集用区间表示为,，解析是定义在上的奇函数，又当，又为奇函数当时，由得，解得。
2、奇偶性的性质及定义进行转化求解解析解法因为是奇函数，所以，因为，所以，所以，所以，所以转化思想利用函数奇偶性的定义转化为恒成立问题，使问题得以求解解法二因为的分子是奇函数，所以要使为奇函数，则它的分母必为偶函数，所以，所以转化思想通过对解析式的分解，转化为分母为偶函数这结论，使问题得以转化为简单的函数关系解法三由已知为奇函数，得，即，所以，解得转化思想由于已知函数的奇偶性求参数取值，进而可转化为对相反的自变量所对应的函数值相等进行求解方法指导以上三种方法为此类问题的常见解题思路，在解题时注意合理运用，转化思想可以使问题得以简化，达到事半功倍的效果本题还有另外种解题技巧，希望能对读者在解此种题型时有所帮助因为为奇函数，且不在的定义域内，故也不在的定义域内，所以，所以第二章函数导数及其应用第讲函数的奇偶性与周期性考纲展示三年高考总结结合具体函数，了解函数奇偶性的含义会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性了解函数周期性最小正周期的含义，会判断应用简单函数的周期性从近三年高考情况来看，本讲是高考的个热点，尤其是函数奇偶性的应用，主要考查函数的奇偶性与周期性在解题中的转化作用主要涉及函数奇偶性周期性的判断，以及利用奇偶性周期性求函数值等问题，在高考中常把单调性奇偶性与周期性综合在起，与函数图象函数零点等交汇命题，解题时要充分掌握其概念及灵活应用，强化函数性质的应用意识考点多维探究考点函数奇偶性的判断回扣教材奇函数偶函数的概念及图象特征判断与的关系时，也可以使用如下结论如果或，则函数为偶函数如果或，则函数为奇函数在公共定义内有奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇小题快做思考辨析偶函数。
3、高考已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则解析令得分别是偶函数和奇函数，即命题角度已知函数的奇偶性求解析式典例江苏高考已知是定义在上的奇函数，当时则不等式的解集用区间表示为,，解析是定义在上的奇函数，又当，又为奇函数当时，由得，解得当时无解当得，解得的解集用区间表示为,，命题角度已知函数的奇偶性求参数典例课标全国卷Ⅰ若函数为偶函数，则解析解法由题意得，所以，解得解法二由为偶函数有为奇函数，令，有，以下同解法命题角度奇函数偶函数图象对称性的应用典例四川高考已知是定义域为的偶函数，当时那么，不等式的解集是,解析当时，由，解得因为是定义域为的偶函数，所以的解集为所以的解集即是，即故填,与函数奇偶性有关的问题及解决方法已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于的方程组，从而得到的解析式已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法利用得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式利用函数的奇偶性可画出轴侧的图象，另侧的图象可根据对称性得到跟踪训练若定义在上的偶函数和奇函数满足，则解析因为，所以，所以，故选重庆高考已知函数，则解析即，得，又又由式知杭州模拟已知定义在上的奇函数和偶函数，当时当时则和图象的公共点在第象限第二象限第三象限第四象限解析利用奇函数的图象关于原点中心对称偶函数的图象关于轴对称画出与的图象，易知公共点在第二象限，故选徐州二模设，是上的偶函数，则解析解法是上的偶函数，在上恒成立，即，对任意的恒成立。
4、象不定过原点，奇函数的图象定过原点如果函数，为定义域相同的偶函数，则是偶函数函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在轴上是关于坐标原点对称的教材改编定义域为的四个函数，中，奇函数的个数是解析利用奇偶性的定义易得奇函数为及，故选福建高考下列函数为奇函数的是解析因为函数的定义域为，，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，排除因为为偶函数，所以排除因为为偶函数，所以排除因为所以函数为奇函数，故选重庆高考下列函数为偶函数的是解析利用奇偶性的定义易得为偶函数，故选典例广东高考下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是课标全国卷Ⅰ设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是是偶函数是奇函数是奇函数是奇函数解析对于为偶函数，为奇函数，为偶函数，，故既不是奇函数也不是偶函数，故项符合由题意可知对于选项所以是奇函数，故项错误对于选项所以是偶函数，故项错误对于选项，所以是奇函数，故项正确对于选项所以是偶函数，故项错误，选判断函数奇偶性常用方法及思路定义法图象法性质法“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶“奇偶”是奇，“奇偶”是奇提醒分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程跟踪训练判断下列函数的奇偶性解由得的定义域为关于原点对称又，即既是奇函数，又是偶函数解由，，得的定义域,不关于原点对称既不是奇函数，也不是偶函数。
5、联考下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在，上单调递增的函数是解析函数是偶函数，但在区间，上单调递减，不合题意函数是偶函数，但在区间，上单调递减，不合题意函数是偶函数，且在区间，上单调递增，符合题意函数是奇函数，不合题意故选湖南月考已知是定义域为,的奇函数，而且是减函数，如果，那么实数的取值范围是，，解析是定义域为,的奇函数，可转化为，是减函数，，故选已知定义在上的奇函数满足，且在区间,上是增函数，则解析满足函数是以为周期的周期函数，则由是定义在上的奇函数，且满足，得在区间,上是增函数，在上是奇函数，在区间,上是增函数即函数是周期为的偶函数，当,时则不等式在,上的解集为,,解析的图象如图当,时，由得当,时，由得,故,,方法与技巧判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的个必要条件奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式⇔⇔利用函数奇偶性可以解决以下问题求函数值求解析式求函数解析式中参数的值画函数图象，确定函数单调性若对于函数的定义域内任个自变量的值都有或或，则函数周期为失误与防范在用函数奇偶性的定义进行判断时，要注意自变量在定义域内的任意性不能因为个别值满足，就确定函数的奇偶性分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性函数满足的关系表明的是函数图象的对称性，函数满足的关系表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆微专题思想方法典例金华模拟若函数为奇函数，则解题视点利用函。
6、的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数对称性的三个常用结论若函数是偶函数，即，则函数的图象关于直线对称若对于上的任意都有或，则的图象关于直线对称若函数是奇函数，即，则函数关于点中心对称,小题快做思考辨析若函数是奇函数，则函数的图象关于点,对称教材改编已知函数是定义在上的偶函数，若在，上是减函数，则在，上是增函数若函数为奇函数，则山东高考已知函数为奇函数，且当时则解析因为函数为奇函数，所以故选已知是定义在,上的偶函数，那么的值是解析为偶函数，所以，所以即恒成立，即，又得，故选教材改编已知函数是定义在上的奇函数，当时则，于是，得函数的奇偶性结合函数图象以及其他性质的考查是高考中的个热点命题，常以选择题填空题的形式呈现，难度般不大，且主要有以下几种命题角度命题角度已知函数的奇偶性求函数值典例湖南高考已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则解析令得分别是偶函数和奇函数，即命题角度已知函数的奇偶性求解析式典例江苏高考已知是定义在上的奇函数，当时则不等式的解集用区间表示为,，解析是定义在上的奇函数，又当，又为奇函数当时，由得，解得当时无解当得，解得的解集用区间表示为,，命题角度已知函数的奇偶性求参数典例课标全国卷Ⅰ若函数为偶函数，则解析解法由题意得，所以，解得解法二由为偶函数有为奇函数，令，有，以下同解法命题角度奇函数偶函数图象对称性的应用典例四川高考已知是定义域为的偶函数，当时那么，不等式的解集是,解析当时，由，解得因为是定义域为的偶函数，所以的解集为所以的解集即是，即故填,与函数奇偶性有关的问题及解决方法已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解已知函数的奇偶性求解析式将待。
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