Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系 ㊣ 精品文档 值得下载

故，，从而，。

于是，所以从而，是完备空间结论，从积分推广到积分的本质是从不完备空间，到完备空间，的扩充。

八总结数学的发展表明黎曼积分和勒贝格积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用从狭义上看，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广，同时勒贝格积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的次智力革命，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代但是值得提的是，勒贝格积分并没有完全否定和抛弃黎曼积分，它把黎曼积分作为种特例加以概括，并且在定条件下勒贝格积分可以转化为黎曼积分，由此可见，黎曼积分和勒贝格积分各有自己的优势和价值从黎曼积分到勒贝格积分的发展过程，生动说明了数学的发展是永无止境的，随着科学和社会的发展，积分也逐渐暴露出了它的局限性在此不列举，积分理论也是有待发展的可以预测随着科学和社会的不断发展，积分理论也会越来越完善。

参考文献潘天舒北京大学和世界流大学经费比较，高等教育论坛年第期。

苏云峰从清华学堂到清华大学，三联书店年版。

周成林勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系新乡教育学院学报，程其襄，等实变函数与泛函分析基础北京高等教育出版社周民强实变函数论北京北京大学出版社曹广福实变函数论北京高等教育出版社，施普林格出版社论文评阅人意见论文设计题目积分与积分的区别与联系作者评阅人评阅人职称讲师意见该论文以黎曼积分和勒贝格积分在定义积分性质微积分定理上的区别和联系。

介绍了黎曼积分和勒贝格积分的性质定义。

文题相符，结构严谨，逻辑严密，语言流畅，表达准确，层次分明，格式完全符合规范要求，参考了丰富的文献资料该论文达到了学士学位论文水平要求，是篇合格的毕业论文，同意其参加论文答辩，并建议授予学士学位论文评阅人意见论文设计题目积分与积分的区别与联系本科毕业论文设计答辩过程记录院系数学科学学院专业数学与应用数学年级级作者指导教师职称讲师评语黎佳琪同学的学士学位论文积分与积分的区别与联系以多种方法为研究内容论文中选取的证明方法贴近中学课堂教学，有很强的实际应用价值文章篇幅完全符合学院规定，主体清晰，布局合理，深入浅出，详略得当，文章内容完整，论述清楚，表达准确，举例恰当，有定的个人见解文题完全相符，论点突出，论述紧扣主题语言流畅，格式完全符合规范要求参考了丰富的文献资料，无抄袭现象该论文达到了学士学位论文水平要求，是篇合格的毕业论文，同意其参加论文答辩，并建议授予学士学位答辩人姓名学号毕业论文设计题目积分积分的区别和联系毕业论文设计答辩过程记录答辩是否通过通过未通过记录员答辩小组组长签字年月日年月日本科毕业论文设计答辩登记表院系数学科学学院数学系专业数学与应用数学年级级论文设计题目积分和积分的区别和联系答辩人学号评阅人指导教师论文设计等级答辩小组成员答辩小组意见秘书签名年月日论文设计答辩是否通过通过未通过论文设计最终等级答辩小组组长签名答辩委员会主席签名指导教师评语页论文设计题目积分和积分的区别和联系作者指导教师职称讲师评语指导教师签字论文等级们有下面的定理定理若，均为可测集，且，是上的勒贝格有界可积函数，则有对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解我们知道，黎曼积分建立在约当测度之上，勒贝格积分建立在勒贝格测度之上，而约当测度只具有有限可加性，勒贝格测度具有可数可加性积分极限定理关于黎曼积分积分与极限交换的问题，很多文献都有详细的叙述，这里不再多说，由于积分与极限交换的问题不能顺利解决，就大大降低了黎曼积分的效果在勒贝格积分范围类对于这个问题得到比在黎曼积分范围类完满的解决，这正是勒贝格积分的最大成功之处对于勒贝格积分，有如下勒贝格控制收敛定理设是可测集上的可测函数列几乎处处于，，且在上可积几乎处处于则在上可积，且设，将条件改为，则定理结论仍成立，这也叫做勒贝格积分的有界收敛定理与黎曼积分的有界收敛定理相比，显然条件宽松的多，且不需要假设极限函数的可积性，从而使我们又次看到勒贝格积分的优越性牛顿莱布尼茨公式设在，上可微，则有，即在上述条件下，积分运算是微分运算的逆运算，显然，在微积分基本定理中，必须是可积的然而早在年，就做出了个可微函数，其导函数不是黎曼可积的，因此在黎曼积分范围内，积分运算只是部分的成为微分运算的逆运算，这就大大限制了微积分基本定理的应用范围但是勒贝格积分大大改善了上述缺陷，使牛顿莱布尼茨公式得应用范围大大扩大了我们有下面的定理定理设是，上的勒贝格可积函数，则其不定积分是绝对连续函数定理设是，上的勒贝格可积函数，则存在绝对连续函数，使得几乎处处于，定理设是，上的绝对连续函数，则几乎处处有定义的在，上勒贝格可积，且，即总是在，上勒贝格可积函数的不定积分由定理我们可以得到个重要事实，即在勒贝格积分范围类积分再微分则还原由定理和定理我们可以看出绝对连续函数的重要性，它完全可以标志不定积分勒贝格积分在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越的多线性性质积分若函数，在，上可积，则，在，上可积，且积分，在可测集上有积分可积，则在上有积分可积，且贝格积分不仅可积函数类广泛，还具有良好质，积分号下求极限的条件也较宽松，使它在数学理论上占据黎曼积分所不可能有的重要地位。

七积分与积分的本质区别通过上面的内容我们看到积分是对于积分的种推广，那么积分和积分之间最本质的区别是什么呢下面我们从他们的定义出发，利用空间的完备性概念加以讨论。

我们先给出几个定义定义设是个非空的集合，若对于中的任意两个元素都有唯确定的实数，与之对应，并且满足，的充要条件是对于任意的，都有，则称，是与之间的距离，称为距离空间，记作，。

定义二设，是距离空间，是中的点列元素列，如果任意给的正数，存在自然数，使得当时，必有，，则称是中的基本点列。

如果对于中的每个基本点列，都存在使得，。

则称距离空间是完备的。

令，表示在区间，上的全体可积函数，，表示在区间，上的全体可积函数。

在，和，引入距离，。

可知，和，在此距离下为距离空间。

命题，是个不完备的空间。

证明不失般性，取，在区间，上作个完备集使得。

此只要确定关于的补集就可以了。

我们构造如下第组取中点，长度为的开区间第二组取中点分别为与，长度为的两个开区间，，第组取余下的区间中点为中点，长度分别为的个开区间，显然这些区间互不相交，所取出的这些区间的全体记作则而且，是完备集，下面我们在，上定义个函数列，当在组中，当不在的前组中显然有而从而对任给分，只有足够的大就有所以是空间，上的基本点列。

并且显然有，当时，当时又因为在上不连续，并且。

所以在，上不是可积的。

所以，不是完备空间。

命题二，是个完备空间证明设函数列，是空间，上的基本点列。

即对任意的有自然