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点即方程有无实数根。

函数与轴交点的横坐标即为方程的根。

二次函数各式中，≠的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表解析式顶点坐标对称轴，的增大而减小当时，随的增大而增大。

若，图象与轴交于两点，和其中的，是元二次方程≠的两根这两点间的距离得到的图象当，时，将抛物线向左平行移动个单位，再向上移动个单位可得到的图象当时，开口向上，当，当时，随向右平行移动个单位得到，当时，则向左平行移动个单位得到。

当时，将抛物线向右平行移动个单位，再向上移动个单位，就可以当时的图象可由抛物线状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表解析式顶点坐标对称轴，点的横坐标即为方程的根。

二次函数各式中，≠的图象形以下称函数，当时，二次函数为关于的元二次方程以下称方程，即。

此时，函数图像与轴有无交点即方程有无实数根。

函数与轴交与﹚关于顶点对称④与﹚关于原点对称。

二次函数与元二次方程特别地，二次函数与两图像关于轴对称与两图像关于轴对称即为函数与轴的两个交点，将代入即可求出解析式般与元二次方程连用。

交点式是知道两个轴交点和另个点坐标设交点式。

两交点值就是相应值。

两图像对称交点式双根式≠对称轴当且≧时，随的增大而增大，当且时随的增大而减小此时，图象与轴交于点，图象与轴无交点顶点式此时，对应极值点为其中≠，则抛物线开口朝上，则抛物线开口朝下极值点，图象与轴交于两点，和，小于的情况请读者自行推断，正无穷，正无穷奇偶性当时为偶函数，当≠时为非奇非偶函数周期性无解析式般式当时④当时二次函数知识系统讲解二次函数的性质定义域值域对应解析式，且只讨论大于的情况数图像的开口向下，函数的值域是当时，抛物线的对称轴是轴，这时，函数是偶函数。

特殊值的形式特殊值的形式。

当时当时取得最小值，在范围内是增函数即随的变大而变小，二次函数图像的开口向上，函数的值域是当范围内事增函数，在范围内是减函数即随的变大而变大，二次函数取得最小值，在范围内是增函数即随的变大而变小，二次函数图像的开口向上，函数的值域是当范围内事增函数，在范围内是减函数即随的变大而变大，二次函数图像的开口向下，函数的值域是当时，抛物线的对称轴是轴，这时，函数是偶函数。

特殊值的形式特殊值的形式。

当时当时当时④当时二次函数知识系统讲解二次函数的性质定义域值域对应解析式，且只讨论大于的情况，小于的情况请读者自行推断，正无穷，正无穷奇偶性当时为偶函数，当≠时为非奇非偶函数周期性无解析式般式≠，则抛物线开口朝上，则抛物线开口朝下极值点，图象与轴交于两点，和，图象与轴交于点，图象与轴无交点顶点式此时，对应极值点为其中交点式双根式≠对称轴当且≧时，随的增大而增大，当且时随的增大而减小此时，即为函数与轴的两个交点，将代入即可求出解析式般与元二次方程连用。

交点式是知道两个轴交点和另个点坐标设交点式。

两交点值就是相应值。

两图像对称与两图像关于轴对称与两图像关于轴对称与﹚关于顶点对称④与﹚关于原点对称。

二次函数与元二次方程特别地，二次函数以下称函数，当时，二次函数为关于的元二次方程以下称方程，即。

此时，函数图像与轴有无交点即方程有无实数根。

函数与轴交点的横坐标即为方程的根。

二次函数各式中，≠的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表解析式顶点坐标对称轴，当时的图象可由抛物线向右平行移动个单位得到，当时，则向左平行移动个单位得到。

当时，将抛物线向右平行移动个单位，再向上移动个单位，就可以得到的图象当，时，将抛物线向左平行移动个单位，再向上移动个单位可得到的图象当时，开口向上，当，当时，随的增大而减小当时，随的增大而增大。

若，图象与轴交于两点，和其中的，是元二次方程≠的两根这两点间的距离∣∣绝对值分之根号下另外，抛物线上任何对对称点的距离可以由为其中点的横坐标当图象与轴只有个交点当时，图象落在轴的上方，为任何实数时，都有当，则当时，最小大值。

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

用待定系数法求二次函数的解析式当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知的三对对应值时，可设解析式为般形式≠。

当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大小值时，可设解析式为顶点式维发展开始逐渐占主流。

但辩证思维是人类思维发展的最高形式，中学生的辩证思维基本上处于形成与发展的早期阶段。

这样方面是中学生的辩证思维发展很不成熟，思维水平基本上停留在形式逻辑思维的范畴，只能局部地静止地割裂地认识事物另方面函数的特征是发展的变化的与众多数学知识相互联系的，属于辩证概念。

这个矛盾构成了函数学习中切认知障碍的根源。

初高中函数衔接问题我国历来初中与高中对函数分别采用变量说与对应说的课程设计是造成函数学习困难的外在因素。

这样设计有合理的面，但是另方面容易造成学生认知衔接上的困难。

首先，要向学生说明为什么要重新刻画函数，以及解决变量说与对应说的相容性。

当然单纯解决这个问题并不难，但由于变量说具有的先天缺陷会随着初中函数的教学植入学生的思维，造成先入为主的误导，同时与函数概念本身的复杂性搅合在起，必然会增加衔接的困难。

在调查中我们发现变量说中把表述为的函数，常常使学生形成个带普遍性的就是函数，因而在高中阶段很难接受对应关系是函数的表述。

学生的思维在变量说向对应说的转化过程中，摒弃依变是自变量，是因变量的说法，舍去变化这非本质的东西，突出对应的思想，需要产生较大的飞跃。

这必然增加高函数学习的不适应性。

其次，变量说是建立在变量的基础上的。

所谓量是指有量可度的对象，如长度距离时间等等，即研究的范围限制在实数集。

这样既影响将函数向更高级抽象的迁移，也妨碍学生将函数思想运用于各种不同的研究对象。

再次，虽然变量说在些场合有实用的价值，但实际上在初中学生的生活中，变量说不定比对应说来得自然实用。

因为即使学生凭借生活经验容易理解生活中许多与对应有关的问题，对变量的理解也不那么容易。

进入高中，函数教学的重心是追求形式化，较少关注实际问题。

这也许是大部分中学生在学习了函数后不能将其运用于解决实际问题的缘由。

函数的课程设计建议目前，认知心理学关于数学学习的理论探讨还处于初级阶段，能够用来较好地解释函数学习的理论还没有较成熟的实践支持。

因此对函数学习困难的研究方面需要在教学实践中深入探索其学习过程的心理机制，构建其教与学的策略，另方面笔者认为改革函数的课程设计不仅可以排除函数学习困难的外在因素，也可以提高数学教学质量，培养学生用数学的意识和探索创新的能力。

将函数思想贯穿于课程体系之中所谓函数思想是指运用事物之间的种特殊对应关系来解决问题的思想方法。

它贯穿于数学理论和实际问题的许多场合，是有效地表达处理交流和传递信息探讨事物发展规律预测事物发展方向的工具。

函数关系广泛存在于学生的数学课程之中。

如自然数有理数实数等与数轴上的点各自的对应关系代数式的运算各种运算法则以及恒等变形方程不等式等都可以归结于函数关系几何中的对称相似平移旋转变换等都是从个图形集到另个图形集的对应关系各种几何图形的大小与周长面积体积的关系都可以归结于函数关系。

诸如数学应用题的行程问题流程问题比例问题价值问题追击问题等等都可以用函数思想解决。

总之，将函数思想作为高中课程体系的灵魂可以达到高层次的和谐与统。

这样也更有利于教师高屋建瓴地提挈整个教材进行再创造，有助于帮助学生形成良好的认知结构，培养学生的数学能力和解决问题的能力，提高数学教学质量。

注意函数课程设计的致性与侧重性我国中学数学新课程对函数课程设计仍然分为两个阶段，第个阶段在义务教育的第三学段初中，在相应的课程标准中，仅提出了几条学习函数的具体目标，似乎是给教材编写留下了更大的空间，然而几乎所有初中教材都采用了变量说。

第二阶段安排在高中年级，在相应的课程标准中，明确提出对应说的要求用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，并在教学说明与建议中指出教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。

函数概念的引入般有两种方法，种方法是先学习映射，再学习函数另种方法是通过具体实例，体会数集之间的种特殊的对应关系，即函数。

并建议采用后种方式。

在课程标准的引领下，已有高中新课程实验教材采用了后种方式。

笔者认为课程标准对函数的教学建议中，提倡不必先讲映射，直接由对应通过具体实例引入，这种淡化形式的处理提供了整体改革函数课程设计的契机。

在数学课程改革的国际比较与交流中，我们发现初中与高中分别采用变量说与对应说的课程设计已不多见，发达国家般采用淡化形式的处理方式，通过具体实例较早渗透对应思想。

比如，法国的数学课程，小学四五年级就要求学生认识与使用在小数集上的数值对应的函数关系以及它们的逆对应六年级要求用函数对应关系的图表来描述情景七九年级用图表解析式等多种方式表示函数以及处理问题，但不给出函数的严格定义。

进入高中阶段，实行分科教学，涉及自然科学的数学课程中才注重函数形式化的教学，并作为函数教学的深入与延伸，微积分列入高中阶段的数学课程。

日本的数学课程也是从小学四年级就接触函数对应关系的初步概念，函数课程的整体设计与法国类似。

美国的数学课程，五八年级课程标准的中心议题是研究模式与函数，重点是函数的探索，要求学生认识描绘以及概括模式，并建立数学模型来论断