公式计算之。利用公式计算空间曲线积分当空间曲线，的方程中有个为平面方程时，可以利用公式计算空间曲线积分。利用平面曲线积分计算空间曲线积分设为分段光滑的空间有向闭曲线，，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的正侧符合右手规则，函数在曲面上具有阶连续偏导数，在平面上的投影为平面有向曲线，则有，与将空间曲线积分转化为平面曲线积分后，还可利用著名的公式计算之。南昌工程学院本科毕业论文第四章平面内第二类曲线积分的几何意义平面内第二类曲线积分的定义第二类曲线积分是多元函数积分学的重要组成，下面从它的定义出发探讨几何意义，并直观地理解它的计算。设为平面内从点到的条有向光滑曲线弧，函数，在上有界。用上的点把分成个有向小弧段。设，点，为上任意取定的点。如果当各小孤段长度的最大值时的极限存在，则称此极限为函数，在有向弧段上对坐标的曲线积分，也称为第二类曲线积分，记为，即。说明第二类曲线积分对积分弧段具有可加性当，在有向光滑曲线弧上连续时，第二类曲线积分，存在。平面内第二类曲线积分的物理意义在物理学中还碰到另种类型的曲线积分问题。例如质点受力，的作用沿平面曲线从点移动到点，求力，所作的功。平面内第二类曲线积分的几何意义设是平面内从点，到，的条有向光滑曲线，过上的任点平行于坐标轴的直线与的交点只有个，的方程为第四章平面内第二类曲线积分的几何意义，当，时，如图所示，是以为准线平行于轴的直线为母线的柱面方程为，的部分，其顶端的边界是由定义在上的函数，确定的，底部的边界是平面上的曲线弧，另两坚直的边界分别为直线及图第二类曲线积分几何示意图不妨设，有向线段是在轴上的投影，平面内的曲边梯形是曲面在平面上的投影，面内的曲边梯形是曲面在平面上的投影。由此可见，定义中的，是曲边梯形的面积的近似值。进而可知，，等于曲面在平面上的投影的面积。当时，，等于曲面在平面上的投影的面积的相反数。南昌工程学院本科毕业论文总之，这时，等于曲面在平面上的投影的面积。当，的符号有正有负时，规定在半平面内曲边梯形的面积为正，在半平面内曲曲边梯形的面积为负，则，等于类似于曲面的曲面在平面上的投影的面积的代数的绝对值。当比较复杂时，可将其分成，几段，使每段都满足上述的条件，然后分别讨论。同理，对于曲面投影到平面的面积用同样的方法也可以得到。平面内第二类曲线积分的计算方法下面从几何意义出发，直观地理解第二类曲线积分的计算。由于第二类曲线积分具有对积分弧段的可加性，这里只考虑种特殊情况，即满足上述中的条件的情形。设，在上连续。图中记平面上的曲边梯形的曲边为，其方程为，则，。因为是曲线在平面上的投影，所以由消去，便可求出。由的特点知确定隐函数，设方程，确定隐函数，将其代入，，得到关于的函数，，则曲线的方程为所以，，从而，令，使得从变到时，从变到，则，。由参数方程表示时，，令，则第四章平面内第二类曲线积分的几何意义此即为常用的第二类曲线积分计算分式。于是就得出计算第二类曲线积分的般步骤步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。同时，在这次设计中，我也发现了自己的许多不足。首先，最初写该论文时，对微元法和微积分的掌握还不算很全面，走了不少弯路。其次，最初对论文的写作没有个完整的概貌，考虑不是很全面，所以在写该论文的时候碰到了不少困难。再次，我还应该多掌握些画图等方面技术，不断提高自己各方面的能力。在迄今为止的数学分析的所有版本的教材中，关于平面曲线弧长公式的推导都是千篇律地采用传统的方法严格的定积分极限定义和顺序先推导参数公式，再推导直角坐标公式，最后推导出极坐标公式进行繁难的推证，其中运用定积分极限的定义推导平面曲线弧长的参数公式时要用到微分中值定理和致连续定理，再加上使用绝对值不等式的技巧以及众多符号的使用，使得证明过程繁锁。为了改变这种状况，我们可以用定积分的微元法思想先微分后积分等价替代定积分的极限定义，将会收到了事半功倍效应。因为它充分体现了现代淡化形式，注重实质的数学简化思想在数学分析教学上的运用，技巧地采用精练简化了的微元法思想去推导定积分的应用公式，具有直观简捷明了和易懂的特点，符合当代删繁就简的数学教学原则，因而能取得教者易教，学者易学的教学效果。参考文献祁卫红，罗彩玲微积分的产生与发展山西广播电视大学学报李忠海，魏雅坤试论高师数学系数学教学的基本原则沈阳师范学院学报自然科学版张楠，罗增儒对数学史与数学教育的思考数学教育学报周恩超的创立与发展数学教学战黎荣，赵田夫关于第二类曲线积分教学的探讨喀什师范院学报华东师范大学数学系数学分析第三版高等教育出版社，同济大学数学教研室高等数学第三版北京高等教育出版社刘晓妍两类曲线积分之间的联系中夹角与转角的差异高等数学研究徐胜荣从几何上理解第二类曲线积分的计算山东水利专科学校学报致谢大学四年学习时光已经接近尾声，在此我想对我的母校，我的父母亲人们，我的老师和同学们表达我由衷的谢意。感谢我的家人对我大学四年学习的默默支持感谢我的母校南昌工程学院给了我在大学四年学习的机会，让我能继续学习和提高感谢所有的老师和同学们四年来的关心和鼓励。老师们课堂上的激情洋溢，课堂下的谆谆教诲同学们在学习中的认真热情，生活上的热心主动，所有这些都让我的四年充满了感动。这次毕业论文设计我得到了很多老师和同学的帮助，其中我的论文指导老师邸振老师对我的关心和支持尤为重要。每次遇到难题，我最先做的就是向邸老师寻求帮助，而邸老师每次不管忙或闲，总会抽空来找我面谈，然后起商量解决的办法。邸老师平日里工作繁多，但我做毕业设计的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导。这几个月以来，邸老师在学业和生活上给我以精心指导。同时，感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给自己的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人。正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示我由衷的谢意，并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下,选择适当的参数，写出积分曲线的参数方程将曲线的参数方程代入被积函数中的分别求出把化为关于参数的定积分，确定积分限时必须注意，下限对应于的起点，上限对应于的终点计算该定积分在计算第二类曲线积分时，还可以利用其他方法，如利用全微分格林公式和积分与路径无关等来计算，这些方法可以使运算更简单南昌工程学院本科毕业论文第五章两类曲线积分在几何上的联系平面内两类曲线积分的几何关系虽然第型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型，且有着不同的特性，但在定条件下，如在规定了曲线的方向之后，可以建立它们之间的联系。设为从到的有向光滑曲线，它以弧长为参数，于是，其中为曲线的全长，且点与的坐标分别为，与，。曲线上每点的切线方向指向弧长增加的方。现以，分别表示切线方向与轴与轴正向的夹角，则在曲线上的每点的切线方向余弦是，若，为曲线上的连续函数，则由可得最后个等式是根据第型曲线积分化为定积分的公式。这里必须指出，当式左边第二型曲线积分中改变方向时，积分值改变符号，相应在式右边第型曲线积分中，曲线上各点的切线方向指向相反的方向即指向弧长减少的方向。这时夹角和分别与原来的夹角相差个弧度，从而和都是变号。因此，旦方向确定了，公式总是成立的。这样，根据条件和公式便建立了两种不同类型曲线积分之间的联系。第五章两类曲线积分在几何上的联系两类平面曲线积分关系的证明设定为有向曲线弧，的起点，终点分别对应参数，。函数，在以，为端点的闭区间上具有阶连续导数且，函数，在上连续。有向曲线弧的切线向量，，它的方向余弦为，则由对坐标的曲线积分公式得由此可见剖析当参数时上面证明是对的，但当时，却是的因为在计算对弧长的曲线积分时，化成定积分计算要求下限定要小于上限当时导致上面矛盾的原因在于教材中对有向曲线弧未定义与曲线方向致的切线向量问题的解决定义有向曲线弧的定向切线向量，当时为，当时为，。南昌工程学院本科毕业论文这样定义的切线向量的方向与的指向是致的这是因为若，为上对应参数的点是附近对应于参数的任意点，则向量与参数的增值方向致，所以当参数时，它与的前进方向致而当时，它与的指向正好相反于是当对上面的向量取极限时所得到的向量为因此，为使在上的点处的切向量与的指向致，定义在处的定向切向量就可得以实现这要求，从而弥补教材中证明的不足现在给出等式的证明定理设的切向量为定向切向量