函数方程的些概念„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„函数方程的求解方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„换元法待定系数法递归数列法数学归纳法辅助数列法利用方程组求解函数方程代值减元法柯西法求解函数方程参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„致谢词„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„关于函数方程的求解摘要在数学的许多研究领域都涉及到函数方程问题，在许多应用性科学研究中需要用到大量的函数方程模型因此，求解函数方程直是重要课题函数方程的求解既是个难点，同时又没有个普遍使用的方法本文主要介绍了函数方程若干求解方法关键词函数函数方程求解绪言当今世界，在数学研究的许多领域包括微分方程动力系统泛函分析代数学几何学拓扑学概率论等都涉及到函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术遥感技术经济学理论心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型函数方程因此直受到广泛关注，是当今数学研究的个十分重要的课题函数方程又是个经典的课题，早在世纪初期，欧拉拉格朗日等著名数学大师就已经利用函数方程解决问题了年达朗贝尔在讨论力的合成法则时，导出了函数方程年法国数学家蒙日在研究曲面理论时又再次运用了函数方程，并且给出了关于函数方程的般阐述同年，拉普拉斯又对另类广泛应用的函数方程提供了解法从年，数学家柯西对系列函数方程，如等作了深入的研究，并创造了种求解函数方程的方法柯西法另外，函数方程还受到了阿贝尔维尔斯特拉斯哈代以及阿采尔等数学家的充分重视被应用于不同的领域，取得了许多令人意想不到的结果例如，罗巴切夫斯基就曾将平行角定义成函数方程的解世纪初期，以谢留德为首的波兰学派对函数方程进行了些开创性的研究工作世纪年代前后，苏联数学家盖尔谢凡诺夫教授进步发展了函数方程的些理论，并成功解决了系列有关力学渗透理论弹性理论和地层动力理论等问题这些问题都与谢留德函数方程有关长期以来，尽管很多数学工作者付出艰辛的努力，并获得了大量结果，但遗憾的是至今仍没有像微分方程那样，建立起完整系统的函数方程理论，就连般的解法也较少实践证明，不论是对函数方程本身的研究或是函数方程中未知函数的求解者，都需要有良好的数学素质才行正是由于这个原因，世纪以来函数方程常常出现在国际数学奥林匹克竞赛试题之中，成为当今数学竞赛的个重要领域，越来越受到数学竞赛命题者的青睐，并引起国内外数学教育界的广泛关注由于函数方程的异常复杂和困难，百多年间发展缓慢步履维艰至今还没有关于函数方程的统理论和解函数方程的般方法，也没有关于函数方程的解的存在性和唯性的判断准则不仅如此，甚至还有些函数方程至今未能解出本文试图对函数方程的解法主要是初等解法作个初步的总结但由于函数方程类型十分复杂，想对它进行适当分类就比较困难，加之还没有形成般的理论和般的方法，以及受我能力所限，欲对这课题作系统完整的叙述，似乎不现实，所以本文就我感兴趣的方法作介绍函数方程的些概念函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程，如等其中是未知函数函数方程的解能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解如偶函数奇函数周期函数分别是上述各方程的解解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程迭代周期如果存在自然数使对定义域中的所有都满足，则称具有迭代周期性满足这种关系的最小自然数称为的迭代周期函数方程的求解方法换元法通过换元，用新元代替原表达式中的旧元，从而求出函数方程例解函数方程解令则，将此代入式可得即，代入已知方程，易知其满足方程式运用换元思想解方程的关键是针对所要解决的具体问题，根据题目的具体形式选准换元的方法，使问题获得妙解总之，通过换元把些非常规的方程问题转化，将能达到化难为易，化繁为简的目的待定系数法待定系数法适用于所求函数是多项式的情形，当我们知道了函数解析式的类型及函数的些特征，用待定系数法求函数方程较为简洁般首先确定多项式的系数，写出它的般表达式，然后由已知条件确定待定系数例已知为多项式函数，解函数方程解因为为多项式函数，而与并不会改变的次数，又因为为次函数，不妨设因为所以所以，所以例已知是次函数，解函数方程解设，因为所以所以解得所以递归数列法递归数列法具体又分种形式与方法递归数列求和法这种方法多是用于定义域为自然数的函数方程，先找出的个递归公式，然后依次取为自然数，个值代入递归公式，得到个等式设法利用这些等式消去以外其他形式的函数，即可求出函数方程的解递归数列求和法实质上是将的解析式表示成个数列的前几项之和所以要熟记等差及等比级数求和公式递归数列求积法这种方法与递归数列求和法类似，只是此时我们是以乘积的方法消去除以外其他形式的函数，取代前面相加消去除以外其他形式的函数有的函数方程需同时用到递归数列求和及递归数列求求积法才能解出般而言，若函数方程能化成其中为已知函数时，我们可用递归数列求积法先去个函数符号，再利用递归数列求和法解出例设在整个自然数上都有定义，且满足，求解依次以代入式可得将这个等式加起来，可得例设为定义在自然数上的函数，且满足，求解依次以代入式可得将上面个等式相乘，可得，例设，且满足，求解由假设条件知，在式两边取对数，得到移项得，依序以代入式可得将这个等式相乘，可得再以代入式，再将这个等式相加，可得因为，所以所以，数学归纳法数学归纳法常用来求些定义在自然数上的函数方程的解通常我们先根据假设条件求出并观察这些函数值的规律，猜测的表达式，再验证也成立，则我们所猜测的即为此函数方程的解例设，，，且都成立，求解因为，取，代入原方程，得猜测现用数学归纳法证明以上猜测是正确的以代入式，可得设时式成立，当时，，故由数学归纳法可知式成立例设，，若且，求解，于是猜测现用数学归纳法证明以上猜测设时式成立，当时，故由数学归纳法可知式成立辅助数列法般而言，若，则形如，为常数，的函数方程都可以使用辅助数列法进行求解事实上，若为个的函数，亦可利用这种方法求解例设满足，并且满足，求解我们可将式改写为即设，则由式可知，所以数列是以为公比的等比数列，且首项为由等比数列的公式可得所以可得即例设，，且满足，求解由可得，所以数列是以为公比的等比数列，且首项为因为为数列中的第项，所以，分别以，代入上式，我们可得将以上个式子相加得到利用方程组求解函数方程有些函数方程，通过仔细观察分析会发现函数中变量之间存在互为倒数互为相反数等特殊的关系，对这类函数方程，可利用换元法得到函数方程的导出方程由于变化时没有改变函数的定义域，所以原函数方程和其导出方程形成的方程组的解即为函数方程的解例已知，求解分析，注意到与的倒数关系，利用变量代换构造关于与的方程组，消去得解解由，令，得解方程组，消去，得代值减元法函数方程不只个变量时，首先设法减少变量个数，代值减元法就是种减少变量的常用方法例已知函数满足，且对于任何实数有，求解由题意可取组特殊值，将上面组值代入原函数方程，得到函数方程组，得，又因为，，所以，即所求函数为例设是定义在实数域上的函数，满足且对任意，求解取代入式，则可得，所以，例设的定义域为，满足，且对任意的，求解取代入式，可得以代入上式可得将以上个式子加起来，得所以解得柯西法求解函数方程在函数发展史上，许多函数方程的建立和解法都是有柯西首先提出来的柯西法的运用是有条件的，它要求函数方程中所涉及的函数是连续或是单调的同时，在解题中要用到闭区间套定理利用柯西法解函数方程的步骤是依次求出对于自变量取正整数值整数值有理数值，直至所有实数值，而得到函数方程的解在假设函数是连续函数时，对于常见的元函数方程我们用柯西法求解有以下个常用的结果，，