非常重要的地位很多哲学思想无不渗透着极限的光辉思想著名的庄子书中有言尺之棰，日取其半，而万世不竭从中就可体现出我国早期对数学中无穷的认识水平而我国第个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的割圆术公元前世纪，数学之神希腊数学家阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形毕达哥拉斯学派关于不可公度量的发现，以及在关于数与无限这两个概念的定义中就已经孕育了微积分学的关于无穷的思想方法柏拉图和德谟克利特学派探索过无穷小量观念等等第次数学危机有力地推动了极限理论的发展，其源于微增量相关的类计算经过个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔拉格朗日贝努力家族拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富法国著名数学家柯西的研究使分析基础严密化的工作向前迈出了第大步，在柯西的努力下，连续导数微分积分无穷级数的和等概念建立在了较坚实的基础上不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善柯西之后，魏尔斯特拉斯戴德金康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于十年代各自建立了自己完整的实数体系由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学建在了牢固可靠的基础之上极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数导数定积分级数的敛散性多元函数的偏导数，广义积分的敛散性重积分和曲线积分与曲面积分的概念极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题例如求瞬时速度曲线弧长曲边形面积曲面体体积等问题，正是由于它采用了极限的思想方法极限法揭示了变量与常量无限与有限的对立统关系，是唯物辩证法的对立统规律在数学领域中的应用极限理论在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的借助极限法，人们可以从有限认识无限，从不变认识变，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确无限与有限有本质的不同，但者又有联系，无限是有限的发展无限个数目的和不是般的代数和，把它定义为部分和的极限，就是借助极限法，从有限认识无限变与不变反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在定条件下又可相互转化，这种转化是数学科学的有力杠杆之例如，求变速直线运动的瞬时速度，这时速度是变量，为此人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助极限法，从不变认识变曲线形与直线形有本质的差异，但在定条件下也可相互转化，善于利用这种对立统关系是处理数学问题的重要手段之直线形的面积容易求得，要求曲线形的面积，只用初等的方法就不行了刘徽用圆内接多边形逼近圆，般地，人们用小矩形的面积和逼近曲边梯形的面积，都是借助极限法，从直线形认识曲线形质和量的互变规律是辩证法的基本规律之，在数学研究工作中起重要作用无穷级数求和瞬时速度等都是借助极限法，从近似认识准确下面将具体讨论求解极限的常用方法和应用求解极限的方法极限的定义性质和存在的条件函数极限的定义趋于时函数的极限设为定义在，上的函数，为定数若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或趋于时的函数极限函数极限的定义设函数在点的个空心邻域内有定义，为定数若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或函数极限的性质定理唯性若极限存在，则此极限是唯的定理局部有界性若存在，则在的空心邻域内有界定理保不等式性设与都存在，且在邻域内有，则定理迫敛性设，且在内有，则定理则运算法则若极限与都存在，则函数，当时极限也存在，且又若，则当时极限存在，且有函数极限的存在条件定理归结原则设在内有定义极限存在的充要条件是对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等定理设函数在点的空心右邻域有定义的充要条件是对任何以为极限的递减数列，有定理设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在定理柯西准则设函数在内有定义存在的充要条件是任给，存在正数，使得对任何有几种常用的求解极限的方法比如夹逼定理及连续性定理在解决项和的极限计算时，有种方法就是夹逼准则，但是教材中都没有交代利用夹逼准则计算特定数列的极限时的基本原理，以及该方法所适应的形式与处理问题的技巧我们看下例例求极限解记，于是有，且由于故原极限其目的是通过缩小与放大使得表达式简化便于得出和式的通项形式而计算出极限，准则要求缩小与放大后对应两边的极限必须相等，因此应当考虑，即时，必须有，，或者注意这两个条件并不等价例求极限解记，显然，且因为，所以结论在使用夹逼准则准则的时候，对其中的每个小项，⋯，进行放大或缩小所引发的误差必须是的高阶无穷小，才能保证所引发的总体误差是无穷小显然，例的形式是两个条件都满足的，而在例中，虽然，仍然是满足要求，故结论是正确利用两个重要极限图例如利用夹逼定理证明首先注意到，函数对于切都有定义在图所示的单位圆中，设圆心角，点处的切线与的延长线相交于，又，则弧长因为的面积圆扇形的面积的面积所以即不等号各边都除以，就有或者因为当用代暂时，与都不变，所以上面的不等式对于开区间，内的切也是成立的为了对式应用夹逼定理，下面来证事实上，当时，即，当时，，由夹逼定理有，所以由于，，由不等式及夹逼定理得利用单调有界数列必有极限准则可以证明，在此不再赘述利用极限运算法则在极限的则运算法则中，有点是要特别注意的对商的极限讨论时，分母的极限不能为但是根据无穷小运算的结果，我们有下面的定理定理设，在内有定义，且，，则该定理对自变量的各种变化趁势都成立，借助定理可以解决下面的问题已知，求，解由于由定理可知，因为，故原极限为解之得，极限则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐进行验证它是否满足极限则运算法则条件，满足条件者，方能利用极限则运算法则进行求之不满足条件者，不能直接利用极限则运算法则求之但是，并非不满足极限则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限则运算法则求之例求解例求由于当，因此不符合则运算法则条件，需进行恒等变换即消去当时，分子分母为的因子后方可利用极限则运算法则求之解例求由于当时，，不符合则运算法则条件，需进行恒等变换，即消去当时，分子分母为的因子后方可利用极限则运算法则求之例求当时，，，因此不符合则运算法则需要进行恒等变换后在求之例求解例求由于当时，，，因此不符合则运算法则，需先进行恒等变换后，方可求之解利用初等函数的连续性例求解由对数函数的连续性有原式例求解由于属于初等函数的定义域之内，故由的连续性得利用洛必达法则我们在学习无穷小大量阶的比较时，遇到过两个无穷小大量之比的极限由于这种极限可能存在，也可能不存在，因此我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限分别记为型或型的不定式极限现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达法则型不定式极限定理若函数和满足在点的空心邻域内两者都可导，且可为实数，也可为或，则例求解容易检验和在点的邻域内满足定理的条件和，又因故由洛必达法则求得型不定式极限定理若函数和满足在点的空心邻域内两者都