函数的凸凹性及拐点利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用泰勒公式进行近似计算和误差估计利用泰勒公式求高阶导数在些点的数值利用泰勒公式求行列式的值函数泰勒展开式的应用摘要文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式，泰勒公式是高等数学中个非常重要的内容，它将些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆，本文针对泰勒公式的应用讨论了个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯存在性，函数的凸凹性，拐点，求初等函数的幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在些点的数值，求行列式的值关键词泰勒公式极限敛散性凸凹性拐点对于些比较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用些简单的函数来近似表达多项式函数是最为简单的类函数，它只要对自变量进行有限次的加减乘种算术运算，就能求出其函数值，因此，多项式经常被用于近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近英国数学家泰勒，在这方面作出了不朽的贡献其研究结果表明具有直到阶导数的函数在个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的次多项式近似表达本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用泰勒公式是高等数学中个非常重要的内容，它将些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆，对于超越函数计算具有不可替代的作用本文主要叙述其应用，作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结本文的主要内容是介绍应用，通过大量元函数的例题对泰勒公式的作用做个归纳两种余项的泰勒公式定义若函数在存在阶导数，则有，这里为皮亚诺型余项，称在点的泰勒公式当时，式变成，，称此式为带有皮亚诺余项的麦克劳林公式，定义若函数在邻域内为存在直至阶的连续导数，则这里为拉格朗日余项，，其中在与之间，称为在的泰勒公式当时，式变成称此式为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式常见函数的泰勒展开式，，，泰勒公式的应用利用泰勒公式求极限无穷逼近的严格化，就是极限的刻画。

为了简化极限运算，有时可用项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简捷地求出例求分析此为型不定式，若直接应用罗必达法则求极限，就会发现计算过程非常复杂由于分母是的阶无穷小，可考虑利用泰勒公式将分子展开由无穷小的性质，分子的展开式只要保留到的阶无穷小即可解，故从例可以看出，利用泰勒展开式代替些函数，可以在求极限以前化简表达式，然后通过比较无穷小的阶求极限需求强调的是，展开式的项数的确定要考虑到分子与分母的无穷小的阶数，化简表达式时要注意无穷小的计算例求极限分析此为型极限，若用般方法求解，则很麻烦，这时可将和，分别用泰勒展开式代替，则可简化此式，也可以用罗比达法求解解法由于是解法利用泰勒公式证明不等式泰勒公式在证明积分不等式中的应用泰勒公式在定积分不等式方面应用的关键在于确定在哪点将函数展开将函数展开到第几项为止要解决好这两个关键，其中蕴含着些技巧例设在，上单调增加，且，证明分析因为在不等式右边出现了与，提示我们选择，分别展开已知，所以最多只能展到含阶导数项为止证明对，在点处的泰勒展开式为其中在与之间因为，所以令，分别代入并相加得对式两边同时在，定积分得即故泰勒公式在证明代数不等式中的应用例设若，则有或证明易证当为正整数时，有在这里我们只证当时的充分性，由泰勒公式知，不妨设，，令为了保证级数收敛，先考虑的情形，将，分别代入得，这里，，由得由知，当时，，由和及知，当时，只需证若结论显然成立当时，则有又，令代入即得结果其必要性及其余的结论均可通过与和代数运算方法得到泰勒公式在不等式证明中的应用还有很多，在这里我们只列举了具有代表性的种类型利用泰勒公式判断级数和广义积分的敛散性判别敛散性是高等数学的个难点，判别的方法多样，技巧性也很强，其中利用泰勒公式来判别是个重要的方法判断级数的敛散性例判别级数的敛散性解因为又因为而收敛，所以级数收敛此例是利用泰勒公式估计出，所以在用比较法判别级数敛散性时久知道找与做比较，这是泰勒公式阶的估计作用判断广义积分的敛散性例判断广义积分的敛散性解，利用泰勒公式将展开，，因此由于收敛，所以收敛利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例设在，上连续，在，上具有阶和阶导数，若在，内，则在，上的图形是凹的证明设为，内的任意两点，且，足够小为，中任意两点，记由定理条件得泰勒公式，，因为余项为的高阶无穷小，，又足够小，所以泰勒公式中，的符号与相同又因为，所以可得即可得由，的任意性，可得在足够小的区间，上是凹向的，再由，的任意性可得在，内任意个足够小的区间内部都是凹向的所以在区间上，是凹向的利用泰勒公式对函数极值的判定，可相似的推出函数拐点的判定，比用点的两边区间的阶导数符号来判定，显得简单易行若在，个内阶可导，且满足且，若为奇数，，为拐点为偶数，，不为拐点例判断，是否是的拐点解，，，，因为，所以，不是的拐点利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式可通过泰勒展开式可以求得例求函数的幂级数展开式解由于所以的拉格朗日余项为，显见，它对任何实数，都有，因而，所以有，利用泰勒公式进行近似计算和误差估计利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和些数值的近似计算，利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为，其误差是余项由拉格朗日余项，，如果，为定数，则其余项不会超过，由此可以近似地计算些数值并估计他们的误差例求的近似值，使误差不超过解设，将其在处展开成带拉格朗日型余项的泰勒公式，其中在和之间，令，则