根据区间套的构造的任意领域内均有的无穷多个点，故，正好为的聚点。

对于应用单调有界定理证明聚点定理，应用准则证明聚点定理，应用致密性定理证明聚点定理，方法类似。

反证法利用反证法可以进行以下证明聚点定理确界定理有限覆盖定理准则致密性定理区间套定理单调有界定理利用反证法的基本思路假设欲证结论不成立，构造开覆盖，再利用有限覆盖定理推出矛盾。

应用有限覆盖定理证明聚点定理证明反证法设为直线上有界无限点集，存在使得，假定，中的任何点都不是的聚点，则对，内至多包含的有限多个点，构造则为个开覆盖，覆盖从而覆盖，根据有限覆盖定理，存在子覆盖，„„，由于每个，中只含的有限个点，这与是无限点集矛盾。

区间套定理设是闭区间套则存在唯的点，使对有。

致密性定理任有界数列必有收敛子列。

聚点定理每个有界无穷点集必有聚点。

有限覆盖定理闭区间的任开覆盖必有有限子覆盖。

那么实数完备性定理的循环论证是不是也会有这些问题，相互论证构建的是个更复杂的网络，它会比循环论证更经的起推敲，因此，我选择进行实数完备性的相互论证。

本文将实数完备性个定理相互间的论证方法归为类，即构造区间套法，反证法，构造区间套与反证法相结合，寻找特殊点法。

对每种类型给出其中的个证明，其他简略的说下思路。

本文从实际与理论两个方面浅谈了实数完备性定理的些应用。

实数完备性定理的概述实数完备性的基本定理有个确界定理非空有上界数集必有上确界，非空有下界数集必有下确界。

单调有界定理单调有界数列必收敛。

实数完备性定理的相互论证及应用。

构造区间套法构造区间套法的基本思路找到进行分割的区间，根据特定的条件构造区间套，再利用已知条件得出结论。

利用构造区间套法可以进行以下证明确界定理单调有界定理单调有界定理致密性定理确界定理区间套定理致密性定理聚点定理聚点定理收敛准则收敛准则聚点定理单调有界定理致密性定理单调有界定理致密性定理准则收敛准则聚点定理确界定理确界定理确界定理单调有界定理单调有界定理聚点定理聚点定理致密性定理致密性定理收敛准则准则应用区间套定理证明确界定理证明我们只证有上界就定有上确界，对于有下界定有下确界的情况也可以类似的证明设为集合的上界，若有最大值，则已证。

下面证无最大值的情况对，将，等分若右半区间含中的点，则将右半边记为，若右半区间不含中的点，则将左半边记为，依次下去则得区间套单调递增，单调递减，且∞根据区间套定理根据区间套的构造可知中的任意点都小于等于，且对任意的，存在，当，有，故为上确界。

应用区间套定理证致密性定理证明设的上界为，下界为，将，等分若右半区间含中无穷多个点，则将右半边记为，若右半区间仅含中有限个点，则将左半边记为，依次下去，则得区间套由区间套定理，可得且根据区间套的构造，在的任意领域内都有无穷多的点，我们先取其中的取里面的点作为，再取，与，小的个作为第个领域，在其中任取点作为，依次下去，便有了收敛子列。

对于利用区间套定理证明单调有界定理，令用同样的方法等分，便可，因为如果等分只要右边有中的点，就有无穷多个点，左边就只有有限个点，直下去，再利用极限定义的推论证明。

利用区间套定理证明准则时，令为上界，为下界，对，进行等分，取有无限多个点为构造区间套便可。

利用区间套定理证明聚点定理，也取有无限多个点为构造区间套便可。

那么实数完备性定理的循环论证是不是也会有这些问题，相互论证构建的是个更复杂的网络，它会比循环论证更经的起推敲，因此，我选择进行实数完备性的相互论证。

本文将实数完备性个定理相互间的论证方法归为类，即构造区间套法，反证法，构造区间套与反证法相结合，寻找特殊点法。

对每种类型给出其中的个证明，其他简略的说下思路。

本文从实际与理论两个方面浅谈了实数完备性定理的些应用。

实数完备性定理的概述实数完备性的基本定理有个确界定理非空有上界数集必有上确界，非空有下界数集必有下确界。

单调有界定理单调有界数列必收敛。

实数完备性定理的相互论证及应用。

区间套定理设是闭区间套则存在唯的点，使对有。

致密性定理任有界数列必有收敛子列。

聚点定理每个有界无穷点集必有聚点。

有限覆盖定理闭区间的任开覆盖必有有限子覆盖。

应用确界定理证明聚点定理证明设的上界为，下界为，将，等分若右半区间含中无穷多个点，则将右半边记为，若右半区间仅含中有限个点，则将左半边记为，依次下去则得区间套，单调递增，单调递减且∞由确界定理均存在根据区间套的构造的任意领域内均有的无穷多个点，故，正好为的聚点。

对于应用单调有界定理证明聚点定理，应用准则证明聚点定理，应用致密性定理证明聚点定理，方法类似。

反证法利用反证法可以进行以下证明聚点定理确界定理有限覆盖定理准则致密性定理区间套定理单调有界定理利用反证法的基本思路假设欲证结论不成立，构造开覆盖，再利用有限覆盖定理推出矛盾。

应用有限覆盖定理证明聚点定理证明反证法设为直线上有界无限点集，存在使得，假定，中的任何点都不是的聚点，则对，内至多包含的有限多个点，构造则为个开覆盖，覆盖从而覆盖，根据有限覆盖定理，存在子覆盖，„„，由于每个，中只含的有限个点，这与是无限点集矛盾。

应用单调有界定理证明致密性定理证明设的上界为，下界为，将，等分若右半区间含中无穷多个点，则将右半边记为，若右半区间仅含中有限个点，则将左半边记为，依次下去则得区间套，单调递增，单调递减根据单调有界定理均收敛，且收敛于同个数中取，那么由迫敛性收敛，是的收敛子列。

对于利用确界定理证明致密性定理，利用准则证明致密性定理，利用聚点定理证明致密性定理，均采用的证法，所不同的是利用不同的定理构造，如利用确界定理证明致密性定理，我们利用确界的定义构造。

应用聚点定理证明准则证明设的上界，下界为，为列，将，等分若右半区间含中无穷多个点，则将右半边记为，若右半区间仅含中有限个点，则将左半边记为，依次下去则得区间套，单调递增，单调递减且∞由聚点定理，至少有个聚点根据聚点的定义及区间套的构造，收敛于。

对于应用单调有界定理证明准则时，同样将，等分，而的极限是的极限。

应用确界定理证明准则时，恰为的极限。

应用致密性定理证明准则时，以收敛子列为极限。

构造区间套与反证法相结合利用区间套与反证法相结合可以进行以下证明确界定理准则致密性定理区间套定理有限覆盖定理聚点定理单调有界定理应用区间套定理证明有限覆盖定理证明反证法假设结论不成立，即不能用中的有限个开区间来覆盖将，等分为两个子区间，则其中至少有个子区间不能用中的有限个开区间来覆盖，记这个子区间为则，且依次下去得到闭区间列它满足，且∞，即，为区间列，且其中每个闭区间都不能用中的有限个开区间来覆盖由区间套定理可知，存在唯的点由于是，的个开覆盖，故存在开区间，于是当充分大时有这表明只须用个开区间就可以覆盖得出矛盾。

下面我简单说下在应用其他定理证明有限覆盖定理的思路，对于应用确界定理证有限覆盖定理时，当充分大时，中的项，时，有时有时有，将固定，当，。

由于在，轾犏臌上连续，即然，当，时，时，更有时，对，恒有时恒有，反证法，倘若没有根，那么对，轾犏臌则，的每点都很恒大于，或恒小于这样就构造了个开覆盖，可以找出有限个，覆盖，轾犏臌，而相邻的两个邻域必相交，且均同号，这与，异号矛盾。

事实上，如果我们在实数完备性定理条件的基础上，再加些条件，会得出些更好的结论如对于有界的无穷点列，如果再加上没有极限的条件，我们可以得出至少有两个聚点。

因为有界的无穷点列根据聚点定理至少有个聚点，换句话说，有子列收敛与这个聚点，将这个子列从原有的点列中去掉，若剩下的是有限个点，那么原有点列就收敛于这个聚点，这与没有极限是矛盾的，因此剩下无穷多的点，那么再根据聚点定理，剩下的点列还会有个聚点，故我们说它至少有两个聚点。

在实数完备性的定理中，若细细推敲，可以发现的不仅仅只是这些定理本身。

参考文献华东师范大学数学系，数学分析上第版北京高等教育出版社，武汉大学数学系，数学分析中的典型问题与方法第版北京高等教育出版社实数学分析第版北京高等教育出版社，北京大学数学系，数学分析新讲第版北京北京大学出版社，菲赫金哥尔茨，微积分学教程第版北京高等教育出版社，美柯朗，美约翰，微积分和数学分析引论第版北京科学出版社，费定晖，吉米多维奇数学分析习题集精选精解第版山东山东科学技术出版社，周民强，数学分析习题演练第版北京科学出版社，吉米多维奇，数学分析习题集第版北京人民教育出版社，华东师范大学数学系，数学分析下第版北京高等教育出版社，薛春华，数学分析精选习题全解第版北京清华大学出版社。

应用单调有界定理证明致密性定理证明设的上界为，下界为，将，等分若右半区间含中无穷多个点，则将右半边记为，若右半区间仅含中有限个点，则将左半边记为，依次下去则得区间套，单调递增，单调递减根据单调有界定理均收敛，且收敛于同个数中取，那么由迫敛性收敛，是的收敛子列。

对于利用确界定理证明致密性定理，利用准则证明致密性定理，利用聚点定理证明致密性定理，均采用的证法，所不同的是利用不同的定理构造，如利用确界定理证明致密性定理，我们利用确界的定义构造。

应用聚点定理证明准则证明设的上界，下界为，为列，将，等分若右半区间含中无穷多个点，则将右半边记为，若右半区间仅含中有限个点，则将左半边记为，依次下去则得区间套，单调递增，单调递减且∞由聚点定理，至少有个聚点根据聚点的定义及区间套的构造，收敛于。

对于应用单调有界定理证明准则时，同样将，等分，而的极限是的极限。

应用确界定理证明准则时，恰为的极限。

应用致密性定理证明准则时，以收敛子列为极限。

实数完备性定理的相互论证及应用。