矩阵，均可以正交相似于对角矩阵。

相应的任意实次型均可以通过正交替换化为标准型。

实次型中最为重要的是正定次型，相应的矩阵为正定矩阵。

正定矩阵的性质及其判定构成矩阵研究的重要内容。

在许多文献中对正定矩阵的性质，正定矩阵的判定，些特殊正定矩阵的特征值估计以及正定矩阵的应用做了论述。

与实对称矩阵的研究相对应的有复数域上的矩阵。

只因为对称矩阵的特殊性质，其应用具有广泛性。

正因为其应用的广泛性，它的研究领域也逐渐拓宽了，对于广义正定矩阵的性质，复正定矩阵性质，亚正定矩阵性质等等这些方面的应用的关注和探究是现在研究的主要内容。

主要参考依据王萼芳，石生明高等代数北京高等教育出版社，王品超高等代数新方法河南山东教育出版社，史秀英对称矩阵的分解及其应用内蒙古民族师院学报，宋国乡，冯象初对称矩阵的种特殊分解工程数学学报，付立志对称矩阵对角化的相似模型河南科学，恽鹏伟关于对称矩阵合同变换的进步思考吉林广播电视大学学报，姜景连关于高等代数中的对阵矩阵南平师专学报，张厚超，李瑞娟关于矩阵正定性性判定的等价条件及证明河南教育学院报，刘玉，蔡乌芳，郑礼哲次对称矩阵及其性质南通大学学报，张诚元次式极值的矩阵求法南都学坛，彭文华对称矩阵的两特征值问题大学数学，同济大学数学教研室线性代数第版高等教育出版社，届本科毕业设计数学与应用数学对称矩阵的性质及其应用目录对称矩阵的性质对称矩阵的基本性质实对称矩阵的性质复对称矩阵的性质对称矩阵的应用次型标准化次曲面的分类多元函数的极值对称矩阵的性质及其应用摘要本文以矩阵的相关知识为基础，先给出了对称矩阵的相关概念及其背景然后总结探讨了对称矩阵的些性质，在此基础上又对对称矩阵的加法乘法等运算相关性质进行研究最后介绍了对称矩阵在次型等方面的应用关键词对称矩阵实对称矩阵复对称矩阵次型应用在矩阵中，对称矩阵是计算数学数学物理控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类本文给出了对称矩阵的相关性质及其应用若且满足是的转置矩阵，则称为数域上的对称矩阵对称矩阵作为特殊的矩阵，是由次型得出的个概念定义数域上的个元次型与线性替换用矩阵表示，则有系数排成的个矩阵，它就称为次型的矩阵，因为，所以我们把这样的矩阵称为对称矩阵根据定义，显然，为对称矩阵的充要条件即或对称矩阵的特点是它的元素以主对角线为对称轴对应元素相等对称矩阵的的基本性质对称矩阵作为特殊的矩阵，同样满足相关的矩阵的运算，有如下性质两个对称矩阵的和或差仍是对称矩阵数与对称矩阵的乘积仍是对称矩阵不难验证对称矩阵的线性运算矩阵的和差及数与矩阵的乘积运算中，满足下列运算规律以上都是阶对称矩阵，为元素全是零的零矩阵是数两个对称矩阵的乘积是对称矩阵的充要条件是这两个矩阵可交换然而般地，即对称矩阵的乘法不满足变换律但仍满足下运算规律特别地，由矩阵乘法可得对称矩阵的正整数幂仍为对称矩阵其次，如果，且是对称矩阵，根据中元素的代数余子式的定义必有是中的元素的代数余子式，由伴随矩阵的定义见，那么所以有对称矩阵的伴随矩阵也是对称的因为当可逆时，，所以由可得当可逆时，它的逆矩阵也对称如果对称矩阵，可逆，那么与也可逆，且，所以，由有对称矩阵的负整数幂仍为对称矩阵即对称矩阵的整数幂仍为对称矩阵对阵矩阵的的幂满足下列运算规律注意由于矩阵的乘法不满足交换律，所以在般情况下设，为阶对称矩阵，，但下规律成立设是阶对称矩阵，且，则实对称矩阵的性质下面将要从个方面来了解实对称矩阵的些相关性质定义设，如果存在可逆矩阵使得成立，就称矩阵，合同矩阵的合同关系满足以下关系反身性，与合同对称性若与合同，则与亦合同事实上与合同，即存在可逆矩阵使可逆故也传递性若与合同，与合同，则与合同事实上存在可逆矩阵使，，而可逆故也定理若与合同，为对称矩阵，则亦是事实上存在可逆矩阵使，，故也显然与对称矩阵合同的矩阵也定对称，合同关系也是矩阵之间的等价关系当然对对称矩阵实施若干次合同变换后仍是对称矩阵定理合同矩阵有相同的秩定理任对称矩阵都合同于对角矩阵若是复对称矩阵，则合同于形为的矩阵，其中为矩阵的秩若为实对称矩阵，则合同于形为的矩阵，其中为矩阵的秩，称为的正惯性指数，而称为的负惯性指数特征向量定理是实对称矩阵，则的特征值皆为实数证设是的任意个特征值，为相应的特征向量令，其中为的共轭复数，则于是又因为非零向量，因此故，即是实数定理设是实对称矩阵，则中属于的不同特征值的特征向量必正交证明设，是的两个不同的特征值，，是分别属于，的特征向量，由，，有，，因为，所以，即，正交例设阶实对称矩阵的特征值为，，对应于的特征向量为，，求解由于属于不同特征值的特征向量必正交，故设对应于的特征向量，记，，由，有，解得，再由，，得相似标准型定义若，且存在可逆矩阵使得成立，则称，具有相似的关系由定义，显然相似关系不定能保持矩阵的对称性当且仅当定义中的矩阵是正交矩阵时相似关系能保持矩阵的对称性，即对称矩阵，是欧氏空间的对称变换关于不同标准正交基的矩阵，那么它们必相似反之，两个相似的实对称矩阵必是欧氏空间的个对称变换关于不同标准正交基的矩阵由于实对称矩阵的特征值都是实数，所以实对称矩阵有很好的相似性质实对称矩阵必与对叫矩阵其中是的特征值相似定理对于任意的个级实对称矩阵，都存在个级正交矩阵，使成对角形由相似矩阵有相同的特征值，主对角线上的元素即为的特征值，且的各列为矩阵相应的特征向量根据上面的讨论，正交矩阵的求法可以按以下步骤进行求出的特征值设，是的全部不同的特征值对于每个，解齐次线性方程组，求出个基础解系，这就是的特征子空间的组基由这组基出发，按施密特正交化的方法求出的组标准正交基，因为，两两不同，所以向量组，还是两两正交的又根据定理以及中第章第节的讨论，它们的个数就等于空间的维数因此，它们就构成的组标准正交基，并且也都是的特征向量这样，正交矩阵也就求出了例试用正交的相似变换矩阵，化下列实对称矩阵为对角矩阵解特征方程可取为，或者先求特征值，这里计算，的特征值为，解特征方程组，求得对应的特征向量分别为，它们线性无关显然已与，正交，且定与下列，正交用施密特过程将，正交化，得，最后再单位化，得，，故所求正交矩阵，使定理若，且是对称矩阵则当且仅当时有证明设，则因此，又为实数，故即对于般的矩阵，当时，未必有对于复对称矩阵，当时，未必有如，定义设为元实次型若对于任意组不全为零实数，当变元取这组数时，次型的值总成立，则称实次型为正定次型相应的实对称矩阵称为正定矩阵，记作实对称矩阵正定的充要条件是的特征值都为正数对于正定矩阵我们有，定理若为正定矩阵，则存在对称矩阵，使得证明由定理，存在正交矩阵，使得，因此设，则定理称为矩阵的平方根定理是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组，使证明必要性是正定矩阵，因此存在交定矩阵，使，令，其中为正交向量组，即得充分性为可逆矩阵，显然是正定矩阵复对称矩阵的性质定义若复矩阵，称为的阵，称为型定理阵是正定的充要条件是，的特征值全大于零定理设为正定的阵，则必有，而为可逆方阵，而为复的可逆的上角阵的所有主子式全大于零复对称方阵不定能与对角矩阵相似，但是它必与准对角矩阵约当标准形相似但是复对称方阵可以表示任意复对称方阵的积定理任意复方阵都可以分解为两个复对称方阵的乘积证明设为任意复方阵，相似与约当标准形，即存在可逆方阵使得等式成立，而取则令有其中，那么是可逆