在所有的迭代方法中，子空间迭代方法被认为是求解超大型线性方程组最构造的形函数，任意单元中各个节点上的电场分量大小可表示为，若将区域剖分为个单元，离散化后的变分方程为∫∇⋅∇−⋅∇⋅∫⋅，求该变分方程的极值问题，相当于对多元函数取极值，多元函数取极值应当满足以下条件徐世浙，∂∂∂∂，∂∂∂∂，∂∂∂∂，其中为节点总数，为单元总数经过单元分析，离散方程组中与单元相关的内容可以表示为⋅式中为磁导率，本研究不考虑磁导率的变化，故取真空磁导率为圆频率，为频率，式中为传导电流密度，为电导率通过式和式可导出电场的双旋度方程为∇∇−，其中，为准静态极限下的波数，对式采用广义变分原理，可得到其变分方程为金建铭，∫∇⋅∇−⋅−∫⋅利用以上方程求解节点有限元矢量场时，有时会得到伪解这种解不满足散度条件，主要由于在有限元数值模拟中，离散计算区域只要求插值函数连续，而未对其导数加以限制，因此这种条件下解得的电场有时是的为了减弱这种现象，在原变分方程中加入罚项强加散度条件汤文武等，∫∇⋅∇−⋅−∫⋅∫∇⋅，为罚因子，衡量罚项所三维陆地可控源电磁法有限元快速正演的主要瓶颈分析电磁学论文于模型降阶的子空间投影方法更具有吸引力，它通过构建传递函数蒋耀林，次求解即可得到定范围内所有频率的数值解，同时保证较高精度的计算结果模型降阶方法最早应用于地球物理瞬变电磁场的计算，通过选择合适的参考频率，用子空间投影作为模型降阶技术，产生个传递函数的理想近似，构建个子空间正交基，计算完成所有频率域解后，用汉克尔变换得到瞬变电磁场，该方法进步扩展到直接在时间域计算瞬变场，周建美等采用基于氏交错网格的拟态有限体积算法，把维单重复极点的有理函数子空间模型降阶方法应用于方程组求解，大大提高了效率本文基于子电磁场的水平分量连续，法向分量不连续，导致直接采用节点有限元会出现伪解般有种处理方法是基于矢量位和标量位的间接计算方法，由于矢量位和标量位在求解区域连续，符合节点有限元的前提条件，但该方法通过位量数值求导计算电场和磁场，导致误差增大另种方法是基于棱边的矢量有限元，该方法由于直接将自由度赋予单元的棱边上，避开了电场法向不连续性问题，且电磁场散度为零自动满足，近年来受到了极大关注第种方法是采用传统节点有限元方法加散度校正金建铭，强制电磁场的散度为零，该方法沿用传统的节点有限元，不用修改形函数，计算效率高频域可控源电磁有限元正演最后都等，陆地可控源电磁法常采用接地电偶极子作为发射源，通过发射系列不同频率电磁波，在远区观测相互正交的电磁场分量，沿用大地电磁测深中卡尼亚电阻率计算公式，达到电磁测深目的海洋可控源般是通过拖曳电偶极源方式进行海上作业，由于海水电导率很低，般发射频率范围在，频点相对也较少，本文主要以陆地可控源宽频电磁方法作为主要研究内容维正演主要以数值计算方法为主，目前应用于频率域电磁法的维正演方法主要是有限体积法张烨等周建美等彭荣华等有限差分法，积分方程法任政勇等汤井田等，和有限元法张继锋等蔡红柱等，摘要维陆地可控源电磁法有限元快速正演的主要瓶颈在于多频率大型稀疏方程组求解问题本文引入种基于模型降阶的子空间投影算法，推导了有限元刚度矩阵的模型降阶形式，构建了频率域传递函数采用标准正交向量序列，构建个远远小于有限元刚度矩阵维度的矩阵，该矩阵与频率无关，通过次模型降阶即可实现多频点有限元方程快速求解采用基于电场的变分方程，加入散度校正条件，以消除伪解引入伪函数，消除了源点的奇异性，可适用于复杂背景模型维有限元数值模拟，并为多源的求解奠定了基础以层状介质模型解析解为标准，通过和基于直接求解器的有限元算法进行比较，模型降阶法计算时间小于前者的，平均相对误差在，在满足精度要求下，实现了高效率维有限元数值求解分别采用单重复极点迭代，实现了多频发射的陆地维可控源电磁法的快速正演推导了维可控源电磁法有限元变分方程，施加了散度条件，消除了伪解采用基于总场的有限元方法，通过伪函数，减小了源的奇异性图水平方向高阻低阻模型以层状地层模型解析解为标准，比较了和模型降阶的有限元算法，结果表明在不降低精度条件下，模型降阶方法求解时间不到的，极大地提高了计算效率，为进步精确反演提供了条件分别对水平方向高阻低阻模型，垂直方向高阻低阻模型以及复杂地层低阻陷落柱模型进行了正演计算，异常体的空间位臵与卡尼亚视电阻率断面图结果吻合，进步证明该算法的正确性和可实用性分析了由源所产生的阴影效应，假极值现象和过渡带近区响应的特征，在实际勘探中对这些现象和特征要仔细分析辨识，才能更文章模拟结果的对比，图表示卡尼亚视电阻率的对比，图表示相位的对比，从中可以看出，者的变化趋势以及数值大小都吻合得较好，因此可以进步证明模型降阶方法在陆地维正演中的可行性水平方向高阻低阻模型建立如图所示的水平高阻低阻维模型，图为平面，图为剖面图电性源沿轴放臵，发射电流，源的中心在坐标轴原点我们分别选取高频和低频，绘制其平面图，如图的平面图中，异常电阻率与模型电阻率刚好相反，这个就是电磁法勘探中常见的假极值问题随着频率的降低，探测深度增加，因而能看到正确反映目标体电阻率大小和目标体范围的视电阻率异常，低阻体异常范围较高阻体大，这与场源的阴影效应使低阻体产生更大的阴影吻合在较低频率，由于高阻体侧距离场源更近，因而高阻体频率先进入差有所增大，主要是因为求解磁场需要进行数值求导，会引进数值计算误差，导致卡尼亚电阻率相对误差变大值得提的是模型降阶方法在高频段计算比较稳定，误差要远小于该模型的运算效率对比如表所示，在同计算条件下，的运算时间大于模型降阶解的倍以上表运算速率对比表本文采用层模型验证模型降阶程序的正确性，可以看出，模型降阶解的结果同解的结果具有致性，甚至计算精度比求解更高，这主要是由于模型降阶解所带入的数值计算误差比直接求解大型稀疏矩阵的所带入的误差角度看，在误差允许范围内模型降阶求解大型稀疏矩阵是可行的从运算速率角度考虑，模型降阶只需要求解次包含大型稀疏矩阵的方程，多次矩阵回代即可构建所需的正交阵，因此多个频点的求解变得快速，而使用精度求解通过模型降阶方法进行快速正演，可得到各个网格节点的电场分量，便可通过求导计算得到磁场和卡尼亚视电阻率∂∂−∂∂，∣∣∣∣数值算例程序可靠性检验为检验程序的可靠性和适用性，用含有解析解的模型进行误差分析，本文采用维有限元程序和模型降阶算法分别计算了层地电模型的水平电场和视电阻率，方程求解器均采用中的大型稀疏方程组求解器，比较了精度和运算速率采用陈辉等的维模拟结果对比分析，验证了模型降阶程序的正确性本次数值模拟使用普通的笔记本电脑，处理器为图有限元模型降阶算法流程图层模型构建层模型，将三维陆地可控源电磁法有限元快速正演的主要瓶颈分析电磁学论文好地进行处理解释基于模型降阶的快速正演能够大幅度提高计算效率，频点个数不再是影响计算时间的主要因素，在本质上改变了求解方式，因而该算法可运用于维陆地多频点正演模拟，为进步实现维快速反演奠定基础图切片图切片图图号测线在的卡尼亚视电阻率和电场水平分量对比图多频点卡尼亚视电阻率维切片图图垂直方向高阻低阻模型图卡尼亚视电阻率纵向切片图图陷落柱模型示图图中心测线视电阻率断面图图切片图切片图切片图张继锋，刘寄仁，冯兵，郑安维陆地可控源电磁法有限元模型降阶快速正演地球物理学报，基金国家重点研发计划项目子课题航空地球物理综合处理解释方法研究及软件开发资助三维陆地可控源电磁法有限元快速正演的主要瓶颈分析电磁学论文线几乎看不到异常响应低阻陷落柱为了验证模型降阶程序对复杂模型的适用性，本文构建了个低阻陷落柱模型模型图如图所示，该异常体中心坐标为电性源沿轴放臵，发射电流，源的中心在坐标轴原点图为中心测线剖面图，由于异常体规模较小，上覆地层厚，在剖面图上并未出现圈闭，但是可以明显看到异常体中心位臵所对应的测点附近视电阻率出现了明显的下凹，与模型位臵吻合，证明了低阻陷落柱的存在图低阻体正演结果对比图分别展示了的横向切片图，从中可以看出，低阻体位臵处呈现高阻，而随着频率的降低，勘探深度增加，低阻异常体中心呈现与之对应的低阻异常，这证明在高频段出现了假极值现象，但其值相对于异常幅值比较小结论本文采用基于子空间投影算法的模型降阶方法，向量蒋耀林，最终的表达形式为∥∥，其中，∈ℝ，是对于的正交投影，在子空间上产生的维的方阵从式可看出，模型降阶算法所构建的矩阵的维度远远小于原来的维度，因此可以直接求逆，由于模型降阶前后的矩阵均与源的频率无关，故只要次模型降阶便可实现多个频点的运算，在原有的研究成果可看出，模型降阶的效率取决于多个不同极点所产生方程的求解图给出了模型降阶的主要步骤，其中，为第次迭代的分解下角阵，为正交基向量，是中间向量从正交基构建的过程可看出，运算的速率取决于极点的个数，而周建美等的研究表明，当过渡带如图中切片，随着频率的降低，更远的地层也相继进入过渡带如图中切片图是两个频率所对应的视电阻率和电场分量，假极值现象也可看到，而且低阻体异常幅值远大于高阻体异常幅值，可控源电磁法对低阻体的灵敏度要远大于高阻体图低阻模型垂直方向高阻低阻模型设计如图所示的垂向高阻低阻模型，图为平面图，图为剖面图，电性源沿轴放臵，发射电流，源的中心在坐标轴原点图为卡尼亚电阻率纵向切片图，展示了不同测线剖面的视电阻率变化，横坐标测线上对应的测点的坐标，纵坐标为视深度，在其中的测线均能明显看到异常体的存在，且低阻体产生明显的