函数两种凸性定义等价性分析（高等数学论文） ㊣ 精品文档 值得下载

数的个等价命题，而结论只是凸函数的个必要条件，结论更强同时，结论还给出了凸函数的个等价形式，甚至有学者把这个等价形式作为凸函数的定义，有人将式称为詹森不等式，也有人将式均称为詹森不等式，两种凸性定义的性质下面讨论两种凸性定义的相关性质凸函数与连续性首先讨论凸函数与连笔者的今惑，即两种凸性定义是否等价，为什么在什么条件下这两种凸性定义等价凸性定义的早期发展历史尽管和分别于年年和年早于詹森已经研究了函数的凸性，但大部分学者认为是詹森在和年首先定义了函数的凸性，即定义，并对函数凸性进行了系统的研究，詹森还证明了下面的结论，结论，若为区间上的凸函数，则对于任意点，函数两种凸性定义等价性分析高等数学论文种凸性定义等价这些增加的条件大致可以分为类第类，函数具有连续性第类，函数具有可微性第类，函数具有半连续性，包括上半连续和下半连续第类，函数具有有界性由定义可以证明凸函数在开区间内连续，又由于连续性是许多函数都具有的个基本性质，所以大多数文献都是直接或间接利用函数的连续性，来讨论证明两种凸性定义的等价性文献以及又进步基于函数的可微性来讨论证明两种凸性定义的进行定义文献和要求函数具有连续性，而文献，和则没有连续性的要求所以笔者的今惑是定义和定义这两种凸性定义是否等价，为什么在什么条件下这两种凸性定义等价本文基于笔者自己的今惑和相关参考文献，研究梳理这两种凸性定义的前世两种凸性定义的早期发展历史两种凸性定义的性质以及它们等价需要的条件自从函数凸性在世纪末世纪初被提出并定义之后，便得到了广泛研究，别指明，下文所述区间既可以是闭区间也可以是开区间，区间表示去掉区间的端点后形成的开区间，如果是开区间，则，詹森最早定义了函数的凸性并对其进行了系统研究，该定义具体如下定义，设函数在区间上有定义，如果对上任意两点，恒有，则称在区间上是凸的，或者称在区间上是凸函数文献中凸性定义是国内外大多数文献所采摘要通过研究中点凸函数和般凸函数这两种凸性定义的早期发展历史和凸性性质来探索两种凸性定义的等价性结果表明，两种凸性定义不等价但是，当函数满足连续可微半连续和有界这个条件中的任何个条件时，两种凸性定义等价关键词两种凸性定义半连续可微有界等价性连续引言同济大学数学系编的高等数学是国内大部分理工科非数学本科专业采用的经典教材，华东师范大学数学科学学院编的数学分析是国内大部证明广西师范学院学报，王飞凸函数等价性讨论广西师范学院学报，孙本旺，汪浩数学分析中的典型例题和解题方法长沙湖南科学技术出版社，裴礼文数学分析中的典型问题与方法北京高等教育出版社，赵贤淑，孟赵玲曲线凹凸性几种定义的等价性北京印刷学院学报，黄金莹，赵宇，康兆敏凸函数与半连续函数的关系数学的实践与认识，陆学勇，吴秀吉进制在函数凸性中的个应用贵州师范学院学报，王证明详见文献对于结论，由前面结论可知，如果凸函数在区间的子区间上有上界，则在内连续，从而由结论可知是上的凸函数，故结论正确结论本文系统全面深入总结了两种凸性定义的早期发展历史及已有的些研究成果期望帮助对两种凸性定义等价性了解不深入的高校教师及相关人员更好的了解两种凸性定义的早期发展历史把握凸函数的连续性可微性半连续性和有界性以及在连续可微半连区间上的下半连续函数，则两种凸性定义等价结论，函数是区间上凸函数的充要条件是既是上的凸函数又是上的上半连续函数结论的证明详见文献，正如文献所述，由结论可知，如果在区间下半连续且在上是凸函数，则在上定是凸函数，从而由结论可知在上为上半连续函数，所以是上的连续函数因此结论中的下半连续函数这等价前提条件可以改为连续函数，者是回因为，若在区间上连续且满足式，则说明为区间上连续的凸函数，从而由结论可知为区间上的凸函数，进步由结论可知在内的左右导数都存在在函数可导的条件下，可得到如下判断函数是否为凸函数的两个结论结论若在区间上可导，则为上凸函数的充要条件是在上单调递增若在上阶可导，则为上凸函数的充要条件是结论若函数在区函数两种凸性定义等价性分析高等数学论文良成凸函数及其不等式成都川大学出版社，刘丽红凸函数的不等式及其应用重庆重庆理工大学，全然函数两种凸性定义等价性的今惑前世之初探大学数学，基金河南省高等教育教学改革研究项目高等学校大学数学教学研究与发展中心年教学改革项目河南工业大学年本科教育教学改革研究与实践专项项目，函数两种凸性定义等价性分析高等数学论文讲义上册版北京高等教育出版社，菲赫金哥尔菠微积分学教程杨弢亮，叶彦谦，译版北京高等教育出版社，廖俊俊，吴洁关于凸性的些探讨大学数学，黄永忠，吴洁，韩志斌调和凸函数及其型不等式的加细大学数学，雷冬霞，黄永忠，刘继成调和凸函数的基本性质和等价刻画大学数学，古小敏对凸函数定义之间等价性的进步研究重庆工商大学学报，周科凸函数等价性命题条件下和凸函数等价其实，连续并不是个很强的条件，包括初等函数在内的许多函数都具有连续性结论和结论表明结论若函数在区间上连续，则两种凸性定义等价凸函数与可微性接下来将讨论凸函数与可微的关系由结论的第个结论易知，凸函数在开区间内的左导数或右导数可能不存在，这说明凸函数的可导性可能较差，但凸函数的可导性相对较好，具体见下面的结论和结论结论，设函数为区间上的续和有界等任条件下两种凸性定义等价性参考文献同济大学数学系高等数学上册版北京高等教育出版社，华东师范大学数学科学学院数学分析上册版北京高等教育出版社，哈代，李特尔伍德，波利亚不等式越民义，译版北京人民邮电出版社，佩捷凸函数最值定理从道华约自主招生题的解法谈起哈尔滨哈尔滨工业大学出版社，陈纪修，於崇华，金路数学分析上册北京高等教育出版社，刘玉琏，傅沛仁数学分析事将结论和合为，即为结论若函数是区间上的上半连续函数或下半连续函数，则两种凸性定义等价凸函数与有界性最后讨论凸函数与有界的关系，具体见下面的个结论结论若函数是区间上的凸函数，则在的任闭子区间上有界结论函数是区间上凸函数的充要条件是既是上的凸函数又在的任闭子区间上有上界结论若函数在区间的子区间上有上界，则两种凸性定义等价结论和的上可导，则定义与定义等价，即两种凸性定义等价结论的证明详见文献也可以这样理解结论，如果函数在区间上可导，则在区间上连续，故由结论可知，两种凸性定义等价，故结论正确凸函数与半连续性前面讨论了在连续或可微的条件下，两种凸性定义等价，下面结论说明在更弱的半连续条件下两种凸性定义也等价结论，若函数是区间上的上半连续函数，则两种凸性定义等价结论，若函数是凸函数，则对于∀∈，左右导数，都存在，且，均为增函数∀∈结论设为开区间上的凸函数，集合为的不可导点构成的集合，则是可数的，且在上连续结论的证明详见文献和，结论的证明详见文献需要说明的是，在年已经证明，如果在区间上连续且满足式，则其在的任内点处的左右导数都存在这是必然的结果这是函数两种凸性定义等价性分析高等数学论文在内点的邻域内有上界，则其在内连续结论的详细证明可参见文献和结论给出了定条件下凸函数具有连续性，其实在连续的条件下，两种凸性定义等价，具体见下面结论和结论结论若函数在区间上连续，则定义与定义等价，即两种凸性定义等价结论在区间上为凸函数的充要条件是在上为凸函数且在内连续结论和结论的证明分别详见文献和，两个结论的实质是凸函数在增加连续性的续的关系结论若函数为区间上的凸函数，则其在区间的内部内不定连续若函数为区间上的凸函数，则其在内连续需要说明的是，第，文献构造了类凸函数，并证明其在内不连续第，结论中第个结论的证明方法比较多，文献通过个例题证明了凸函数在内任点处的左右导数均存在，从而得到函数的连续性，文献中第页给出了种基于利普希茨连续的证明方法来证明函数的连续性，其他∈以及任意满足的非负有理数有，结论的证明可参见文献和需要指出的是，人们随后将式推广为式来定义函数凸性，即定义，又进步把结论推广为如下结论结论函数为区间上凸函数的充要条件是式对于任意点，∈以及任意满足的非负有理数，均成立为上凸函数的充要条件是式对于任意点，∈以及满足等价性文献是在半连续条件下讨论证明两种凸性定义的等价性文献则是在有界性条件下讨论证明两种凸性定义的等价性当然，相当多的文献同时讨论了多种凸性定义的等价性，而且往往是采用循环的方式进行证明，如文献，和分别讨论了十种种十种和种凸性定义的等价性下文将通过研究梳理函数两种凸性定义的前世，即两种凸性定义的早期发展历史两种凸性定义的性质以及它们等价需要的条件，以释，时至今日，函数凸性的定义更是达到了十几种之多定义和定义这两种凸性定义的等价性也是许多文献研究的重要内容方面，由于开区间上的凸函数连续，而开区间上的凸函数不定连续，这意味着函数两种凸性定义并不等价另方面，易知满足定义的函数不定满足定义，但满足定义的函数定满足定义的函数即凸函数更广泛，所需条件更弱所以主要是在定义上增加条件，进而讨论证明定义和定义这两用的定义，具体如下定义设在区间上有定义，如果对上任意两点，和任意实数∈，恒有−−，则称在区间上是凸的，或者称在区间上是凸函数从表面形式上看，以上两种定义并不样而且易知凸函数定是凸函数，反之未必成立通过进步探究高等数学和数学分析教材发现文献和的凸性定义类似定义，利用式进行定义，而文献，和的凸性定义类似定义，利用式部分数学本科专业采用的经典教材，两套教材都对函数的凸性进行了定义文献基于区间上任意两点的中点来定义函数的凸性，即所谓中点凸，而文献则是基于任意两点的凸组合来定义