关于矩阵方程求解的另一点注记分析（数学基础论文） ㊣ 精品文档 值得下载

逆阵∈，⋯由于矩阵的列向量组为矩阵的列向量组的极大线性无关组，可以按下列方式重排矩阵的列向量列向量组排在前列不属于极大无关组中的列向量排在后列，记这些列向量为⋯，重排后的列向量组构成的矩阵与原矩阵之间是列等价的关系，也就是⋯，⋯∼关于矩阵方程求解的另点注记分析数学基础论文列满秩的解，由于矩阵的逆阵为，故矩阵方程也有行满秩的解若，设向量组是矩阵的列向量组的极大线性无关组，向量组是矩阵的列向量组的极大线性无关组由于向量组的极大线性无关组与向量组自身等价，以及等价关系的传递性，得到向量组与向分块矩阵记号重记矩阵和如下⋯，⋯，此处∈，∈及先证的情形此时，矩阵的列向量组中所含向量的个数矩阵的列向量组中所含向量的个数，由于故矩阵方程与同时有解参考文献的第页，定理，即存在矩阵∈，∈，下列等式同件，下，是否存在另外个不从方程组的解的理论出发的证明方法，同样可以证明方程存在列满秩的解基于这样的思考，本文从向量组的相互线性表示及矩阵的初等变换的角度，给出了方程存在列满秩的解的另个证明方法为了方便阅读，重述文献中的定理如下定理对任意给定的矩阵∈，∈，若，摘要对任意给定的矩阵探讨了矩阵方程有列满秩解，同时有行满秩解的充分必要条件，并且给出了基于矩阵的等价齐次方程组的同解向量组的等价及线性空间语言的推广关键词列满秩矩阵方程矩阵的初等变换矩阵的等价行满秩引言设∈，∈，是个数域，文献讨程有列满秩的解，且同时有行满秩解的充要条件，这个研究推广和加强了现有的有关矩阵方程和的解的结论参考文献黄正达关于矩阵方程求解的点注记大学数学，同济大学数学系工科数学线性代数版北京高等教育出版社，黄廷祝，成孝予线性代数与空间解析几何版北京高等教育出版社，魏战线，李继成高等数学基础线性代理论，这个齐次方程组的解集的秩相等，即有−−−，于是，进而有，综上，与等价获证与等价这个等价性是显然的，命题实际上是命题用向量组的线性表示的语言的复述与等价参考文献，均给出了证明，这里不再重复最后，不加证明地给出定理的对称推广定矩阵∈，∈，若将其值记为，则由秩的性质，可得构造齐次方程组，由齐次方程组的解的理论，齐次方程组的基础解系中含有个解向量，又因齐次方程组的解定也是齐次方程组的解，故的基础解系中的个解向量∈，同时矩阵方程有行满秩的解∈矩阵与矩阵˜，列等价，此处矩阵˜，中的零子矩阵的型号为行列注当时，˜当时，˜齐次方程组与同解矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价，并且矩阵的列向量组由矩阵的列向关于矩阵方程求解的另点注记分析数学基础论文与空间解析几何版北京高等教育出版社，唐烁，朱士信线性代数北京高等教育出版社，陈建龙，周建华，张小向，等线性代数版北京科学出版社，同济大学数学科学学院线性代数及其应用版北京高等教育出版社，陈素琴，王琤关于矩阵方程求解的另点注记大学数学，基金同济大学教学改革项目关于矩阵方程求解的另点注记分析数学基础论文矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价，并且矩阵的行向量组由矩阵的行向量组线性表示的系数矩阵是列满秩的，矩阵的行向量组由矩阵的行向量组线性表示的系数矩阵是行满秩的矩阵的行向量组所生成的线性空间矩阵的行向量组所生成的线性空间结论矩阵方程和广泛出现在数学和工程应用中，文中探讨了矩阵方，则矩阵方程有列满秩的解∈，即矩阵的秩同时，矩阵方程有行满秩的解∈，即矩阵的秩更进步，若矩阵方程有解，同时，矩阵方程有解，则定有，也就是，条件，又是命题矩阵方程有解同时，矩阵方程有解的必要条件将这个必要条件理对任意给定的矩阵∈，∈，如下论断等价矩阵方程有行满秩的解∈，同时矩阵方程有列满秩的解∈矩阵与矩阵˜行等价，此处矩阵˜中的零子矩阵的型号为行列注当时，˜当时，˜齐次方程组与同是齐次方程组的基础解系，所以齐次方程组与同解同理，齐次方程组与同解于是，齐次方程组与同解其次证明由可推得若齐次方程组与同解，构造齐次方程组，则个齐次方程组，与同解，由齐次方程组的解的结组线性表示的系数矩阵是列满秩的，矩阵的列向量组由矩阵的列向量组线性表示的系数矩阵是行满秩的矩阵的列向量组所生成的线性空间矩阵的列向量组所生成的线性空间定理的证明与的等价已经由定理和定理给出，现在只要分别证明与等价与等价与等价与等价首先证明由可推得对于给定定理合在起，有下面的定理定理对任意给定的矩阵∈，∈，矩阵方程有列满秩的解，且同时有行满秩解的充要条件是，另外，通过梳理线性代数中与条件，相关的结论，得到如下结果定理对任意给定的矩阵∈，∈，如下论断等价矩阵方程有列满秩的解关于矩阵方程求解的另点注记分析数学基础论文，及行满秩矩阵∈，使得下列两个公式成立，即方程有列满秩解∈，方程有行满秩解∈，定理得证推广从上述证明可以发现，由条件得到方程有列满秩解，同时得到方程有行满秩解重新表述为如下形式定理对任意给定的矩阵∈，∈，若及可逆阵∈参考文献的第页，定理有下面两式成立，也就是，矩阵方程有列满秩的解，矩阵方程有行满秩的解再证的情形此时，矩阵的列向量组中所含向量的个数矩阵的列向量组中所含向量的个数新矩阵˜其中为行−列的零矩阵，即新矩阵˜是由矩阵加−个维零向量⋯，⋯又因为不属于极大线性无关组中的列向量，总可以由极大线性无关组线性表示，于是通过相应的初等列变换，可以将列向量，所在的位置均化为零向量，从而可以得到重排后的列向量组构成的矩阵与矩阵⋯，⋯是列等价的，即⋯，⋯∼⋯，⋯由式组等价记矩阵⋯及⋯，利用的结论，定存在可逆阵∈，有下式成立用矩阵的初等列变换的语言重述式，即为⋯∼⋯将式中的矩阵各自添加个维的零向量，其列等价性保持不变，也就是下列关系成立⋯，⋯∼⋯成立，此时，对矩阵秩的值分两种情形，及，若即矩阵的列向量组与矩阵的列向量组均线性无关将式代入式得−构造元齐次方程组，由于，故齐次方程组只有零解，于是由式得可逆，也就是矩阵方程有，则矩阵方程有列满秩的解∈，即矩阵的秩本文的结构安排如下第节证明定理，第节将定理推广成定理，同时给出了定理的用其它个角度表述的形式这个角度分别是矩阵等价的角度齐次方程组同解的角度向量组等价的角度及线性空间的角度定理的证明对于给定的矩阵∈，∈，不妨设则讨论了矩阵方程当，时，存在这样的解∈，其秩，即矩阵是列满秩的般的线性代数教材，仅给出矩阵方程的解的存在性，文献证明了这个存在的解还可以有更好的性质列满秩的证明方法是基于线性方程组的解的理论根据笔者的经验线性方程组的解的理论与向量组的相互线性表示及矩阵的初等变换是有联系的，在