，故第页,共页判断方阵及的可逆性例设,问当为何值时,可逆解因,故，为的三个特征值,由性质可知,当,时,可逆求方阵,的逆阵及的次幂例设，求解，由性质有,故第页,共页由,可知不是的特征值,由性质知可逆而,故故求方阵的多项式例设,计算解由于，而，显然由性质可知，所以判断实对称阵的正定性例设阶实对称阵正定,则存在矩阵,使,且也是正定矩阵第页,共页证明因为实对称阵,故存在正交矩阵,使,其中,为的个特征值因正定,故有,,于是令,则有,又因,即与对角阵相似,相似矩阵的特征值相同,故为的个特征值,因,,由性质知正定小结本文利用特征值与特征向量的些命题和性质来探讨特征值与特征向量在些解题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便致谢本文是在的指导和帮助下完成，在此向汪老师表示衷心的感谢,第页,共页参考文献大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数第三版北京高等教育出版社，同济大学应用数学系工程数学线性代数第版北京高等教育出版社,朱金寿,陈晓江,扬爱芳线性代数华中理工大学出版社李淑花关于类线性代数习题的快速解法高等数学研究谢国瑞线性代数及应用北京高等教育出版社,戴华矩阵特征值反问题的若干进展南京航空航天大学学报,钱吉林高等代数题解精粹北京中央民族大学出版社陈文灯,黄先开理工类数学复习指南北京世界图书出版公司北京公司,朱凤娟特征值与特征向量逆问题的研究滨州学院学报英巴比特科技工作者用矩阵方法北京化学工业出版社蓝以中高等代数简明教程上册北京大学出版社等，奚传志，矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用，枣庄师专学报，熊全淹，线性代数北京高等教育出版社，，所以为的特征向量,为的对应于的特征向量,且,因为,第页,共页,即矩阵的列向量组可由向量组,线性表示,故矩阵的秩,所以为的特征值又可证为的重特征值,设,,即因为,,秩,,故,不妨设,是向量组,的极大线性无关组,则有,,若,,则有,,做第三种初等变换将第列化为,令,,,第页,共页而行列式,是的最高次幂为的多项式,为的特征值,综上可知命题成立参考文献命题的应用例设阶对称矩阵的特征值,,，对应于的,的特征向量依次为,,求矩阵解由公式令，由上式递推得由，解的特征值为，，再由特征方程,解得对应的特征值,,的特征向量分别为，，，令，则,第页,共页由式可得，将代入上式得特征值与特征向量在矩阵运算中的应用设为阶方阵,如数与维非零列向量使关系式成立,则称数为方阵的特征值,称为的对应于的特征向量称为特征多项式,称为特征方程见参考文献特征值与特征向量的基本性质性质设为阶方阵为的个特征值,则性质方阵可逆的个特征值都不为零性质设为方阵的特征值,为的多项式,则为的特征值性质不为方阵的特征值性质凯莱哈密顿定理设阶方阵的特征多项式为，则性质设阶方阵的个特征值为,,且,为对应的个线性无关的特征向量,记,,则第页,共页性质设为阶实对称阵,是它的个特征值,则当且仅当,都大于零时,正定当且仅当,都小于零时,负定当且仅当,都非负,但至少个等于零时,是半正定当且仅当,都非正,但至少个等于零时,是半负定当且仅当,中既有正数,有又负数时,是不定的性质的应用求方阵的行列式以及的多项式的行列式例已知三阶矩阵的特征值为,设,求解由性质可得例设阶对称矩阵的特征值，,对应于的特征向量为求矩阵解由公式综上,运用该命题根据已知条件,可简捷快速地求出矩阵,给我们带来极大的方便