例已知矩阵，在个直角坐标系里，它按关系式定义个旋转现在引进个新的直角坐标系使得旋转轴为新的坐标轴之具体的说，假设新坐标轴方向的单位向量为与其中在旋转轴上现确定旋转的旋转角，在这里，在旧坐标系中应表为，这个旋转保持不动对与的作用就象个二维空间的旋转因此，对于基底，与，该旋转的矩阵是，其中是旋转角则，其中是坐标变换矩阵因为与相似，由性质知，它们的迹相同但的迹，因此，所以现在旋转角可以查表得到例中的论证过程是相当般化的。

因此，我们可得到如下结果设是的旋转矩阵，则其旋转角由给出由于与相似，即存在数域上的可逆矩阵，使得，从而个，即相似于证毕性质设相似于，为任多项式，则相似于证明设于是由于相似于，由性质可知相似于，为任意正整数，即存在可逆矩阵，使得，因此这就是说相似于证毕性质相似矩阵有相同的特征多项式证明设相似于，即存在数域上的可逆矩阵，使得，则显然是可逆矩阵由此可见，与相似三相似矩阵性质的简单应用例设，求分析该问题若按矩阵乘法直接运算相当复杂，耗费时间，若能找到的相似对角阵，则该问题就简单化了，解题过程如下解求的特征值与相应的特征向量由，所以，的个互异特征值为，故可以对角化，对每个，求得分别属于的特征向量为令，有因为由此可见，与有相同的特征多项式证毕性质相似矩阵有相同的迹证明设相似于。

由性质知，与有相同的特征多项式，因而有相同的的特征值，，而的迹，的迹，从而，即相似矩阵有相同的迹证毕性质若矩阵与相似，则它们有相同的不变因子和初等因子证明因为与相似，所以它们的特征矩阵和等价，因而它们有相同的不变因子，进而有相同的初等因子性质若与相似，与相似，则与相似证明与相似，即存在可逆矩阵，使得，与相似，即存在可逆矩阵，使得，由于是数域上的矩阵，是数域上矩阵，于是秩秩，秩即乘积的秩不超过各因子的秩证明为了证明，只需要证明秩秩，同时，秩秩现在来分别证明这两个不等式设，令，表示的行向量表示行向量由计算可知，的第个分量和的第个分量都等于，因而即矩阵的行向量组，可经的行向量组线性表出所以的秩不能超过的秩，也即，秩秩同样，令表示的列向量，表示的列向量，由计算可知，这个式子表明，矩阵的列向量可以经矩阵的列向量组表出，前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩秩引理是个矩阵，如果是个可逆矩阵，是可逆矩阵，那么秩秩秩证明令，由引理知秩秩但是由，又由秩秩，所以秩秩秩同理可证，秩秩从而，秩秩秩证毕性质相似矩阵有相同秩证明设，相似即存在数域上的可逆矩阵，使得，由引理可知秩秩秩秩证毕性质相似矩阵或同时可逆或同时不可逆证明设与相似，由性质可知若可逆，即，从而故可逆若不可逆，即，从而，故不可逆证毕性质若与相似，则相似于为正整数证明相似矩阵的性质及应用毕业论文相似矩阵的定义定义设为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得，就说相似于，记做二相似矩阵的重要性质性质数域上的阶方阵的相似关系是个等价关系证明反身性由于单位矩阵是可逆矩阵，且，故任何方阵与相似对称性设与相似，即存在数域上的可逆方阵，使得，由此可得，显然可逆，所以与相似传递性设与相似，与相似，即存在数域上的阶可逆方阵，使，，则，从而与相似证毕性质相似矩阵有相同的行列式证明设与相似，即存在数域上的可逆矩阵，使得，两边取行列式得从而相似矩阵有相同的行列式证毕下面先介绍两个引理引理设是所以例已知矩阵，在个直角坐标系里，它按关系式定义个旋转现在引进个新的直角坐标系使得旋转轴为新的坐标轴之具体的说，假设新坐标轴方向的单位向量为与其中在旋转轴上现确定旋转的旋转角，在这里，在旧坐标系中应表为，这个旋转保持不动对与的作用就象个二维空间的旋转因此，对于基底，与，该旋转的矩阵是显然是可逆矩阵由此可见，与相似三相似矩阵性质的简单应用例设，求分析该问题若按矩阵乘法直接运算相当复杂，耗费时间，若能找到的相似对角阵，则该问题就简单化了，解题过程如下解求的特征值与相应的特征向量由，所以，的个互异特征值为，故可以对角化，对每个，求得分别属于的特征向量为令，有因为