，则二面角的余弦值为图答案第讲空间向量与立体几何核心知识聚焦返回目录解析由四边形均为正方形，可得两两垂直，以点为坐标原点，射线分别为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系设，则，设平面的法向量为，则且，可得且，令，得，可得平面的个法向量为设平面的法向量为，则且，可得且，令，得可得平面的个法向量为所以，由于二面角为锐二面角，所以其余弦值为第讲空间向量与立体几何核心知识聚焦返回目录教师知识必备知识必备空间向量与立体几何共面向量组向量在个平面内或者通过平移能够在同个平面内重要概念空间基底空间任何三个不共面的向量都可叫作空间的个基底共线定理，共线⇔存在唯实数，使共面定理与不共线共面⇔存在唯的实数对使空间向量基本定理基本定理不共面，对于空间任意向量，存在唯的有序数组，使方向向量所在直线与已知直线平行或者重合的非零向量叫作直线的方向向量线面标志法向量所在直线与已知平面垂直的非零向量叫作平面的法向量线线平行方向向量共线空间向量与立体几何立体几何中的向量方法位置关系线面平行判定定理直线的方向向量与平面的法向量垂直第讲空间向量与立体几何教师知识必备知识必备空间向量与立体几何返回目录注与平面向量平行的向量知识般不再列入面面平行判定定理两个平面的法向量平行线线垂直两直线的方向向量垂直线面垂直判定定理直线的方向向量与平面的法向量平行位置关系面面垂直判定定理两个平面的法向量垂直线线角两直线方向向量为，线面角直线的方向向量为，平面的法向量为，，空间角二面角两平面的法向量分别为和，则，点线距直线的方向向量为，直线上任点为，点，即二面角的正切值为第讲空间向量与立体几何考点考向探究返回目录小结当所给的问题有明显的或者容易找到的交于点的相互垂直的三条直线时，可考虑用空间向量法如在长方体以及些特殊的几何体中解题第讲空间向量与立体几何考点考向探究返回目录变式题如图所示，在正方体中为底面正方形的中心分别为，的中点，点为上点，且满足，为正方体底面上的点求证平面⊥平面若与相交，试判断与的位置关系在的条件下，若平面与平面所成锐二面角的大小为，求图第讲空间向量与立体几何考点考向探究返回目录解证明在正方体中，⊥，⊥，分别为，的中点，，⊥，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面与相交，与确定个平面，为正方体底面上的点，平面∩平面，平面∩平面在正方体中，平面平面，第讲空间向量与立体几何考点考向探究返回目录如图所示，以为原点，所在的直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，则设，由，得，解得即易知平面的个法向量为设平面的个法向量为第讲空间向量与立体几何考点考向探究返回目录由，可得令，则即，故第讲空间向量与立体几何考点考向探究返回目录►考点二利用向量求空间角空间角异面直线所成的角线面角二面角的概念用空间向量求解空间角利用空间向量求解空间角的三角函数值题型解答分值分难度中等热点应用空间向量求解空间角的三角函数值，通常作为解答题的部分第讲空间向量与立体几何考点考向探究返回目录例如图所示，在中，分别是，的中点，将沿折到的位置，使得，如图所示，连接，分别是，的中点，连接求证⊥平面求证平面若求二面角的大小图第讲空间向量与立体几何考点考向探究返回目录解证明⊥，⊥，∩，⊥平面又⊂平面，⊥在中，为等边三角形是的中点，⊥又∩，⊥平面第讲空间向量与立体几何考点考向探究返回目录证明方法如图所示，取的中点，连接，在中，同理，在中，，，四边形为平行四边形，故⊂平面，⊄平面，平面第讲空间向量与立体几何考点考向探究返回目录考点考向探究核心知识聚焦专题十四空间向量与立体几何第讲空间向量与立体几何返回目录核心知识聚焦广东卷改编向量，的夹角是解析因为，所以向量，的夹角是答案返回目录核心知识聚焦天津卷改编在四棱锥中，⊥平面，⊥，点为棱的中点，则异面直线与的位置关系是答案垂直解析建立如图所示的空间直角坐标系设，则故所以，所以⊥第讲空间向量与立体几何返回目录新课标全国卷Ⅱ改编直三棱柱中，分别是棱，的中点则与所成角的余弦值是答案解析建立如图所示的空间直角坐标系设，则所以所以第讲空间向量与立体几何核心知识聚焦返回目录四川卷改编在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，直线与平面所成角的正弦值的取值范围是解析建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为，显然为平面的个法向量设，其中，则，所以直线与平面所成角的正弦值为答案，第讲空间向量与立体几何核心知识聚焦令，则，此时函数，当时取得最小值当时取得最大值所以，所以，所以故直线与平面所成角的正弦值的取值范围是，返回目录第讲空间向量与立体几何核心知识聚焦返回目录安徽卷如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，为的中点，过的平面交于，则二面角的余弦值为图答案第讲空间向量与立体几何核心知识聚焦返回目录解析由四边形均为正方形，可得两两垂直，以点为坐标原点，射线分别为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系设，则，设平面的法向量为，则且，可得且，令，得，可得平面的个法向量为设平面的法向量为，则且，可得且，令，得可得平面的个法向量为所以，由于二面角为锐二面角，所以其余弦值为第讲空间向量与立体几何核心知识聚焦返回目录教师知识必备知识必备空间向量与立体几何共面向量组向量在个平面内或者通过平移能够在同个平面内重要概念空间基底空间任何三个不共面的向量都可叫作空间的个基底共线定理，共线⇔存在唯实数，使