外问题。流体力学的内流问题和外流问题就是上述问题的典型代表。考虑不可压无粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程，且在物面边界Г上有法向无穿透条件内流问题的求解在边界Г内部进行，例如气罐或管道内流动。外流问题需要在边界Г外部的无限大区域内求解，例如翼型或飞机的绕流问题。从直观认识来看，对于外问题，前述的定解条件下外问题的解并不唯。以二维翼型流动为例，仅有法向无穿透条件是不够的，还需要在无穷远处施加来流条件速度大小和迎角等。这个问题课本上也有举例定解条件和定解问题数学物理方程第三章调和方程因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远处对解添加定的限制条件。在三维情况下，般要求解在无穷远处的极限为零或者说极限为个特定的值，即泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解首先寻找个泊松方程的特解，作代换把原方程转化为关于的调和方程。定解条件和定解问题数学物理方程第三章调和方程积分表达式的极值问题被称为变分问题。,变分原理数学物理方程第三章调和方程格林公式格林公式及其应用平均值定理极值原理第边值问题解的唯性和稳定性数学物理方程第三章调和方程格林公式高等数学中的高斯公式如下,在上式中，令，于是有,得到格林第公式数学物理方程第三章调和方程如果作代换，那么格林第公式写为把和相减，我们得到格林第二公式利用上述公式，我们可以推出调和函数的些基本性质。首先我们导出调和函数的积分表达式。考察函数此处是区域内的个固定点，可以验证，表示的函数在除去的区域上处处满足三维拉普拉斯方程，这个函数称为三维拉普拉斯方程的基本解。格林公式数学物理方程第三章调和方程在公式中取是调和函数，而取。由于函数在区域上存在奇点，因此对于区在区域上存在奇点，因此对于区域不能直接运用格林第二公式，但如果在区域内除去个以为中心，半径ε充分小的球ε，则在剩下的区域ε内就可以运用公式了。在区域ε内在球面Гε上由于这里星号代表球面Гε上的平均值。于是公式可以化为格林公式数学物理方程第三章调和方程上式中当ε时，就得到了调和函数的基本积分公式在外在Г上在内对于泊松方程，也有类似公式格林公式数学物理方程第三章调和方程由格林公式，我们可以得出调和函数的下列主要性质。定理调和函数的个充要条件设函数在以曲面Г为境界的区域内调和，在Г上有连续阶偏导数，则，反之亦然。由此，我们得到诺依曼内问题有解的必要条件为满足调和方程由叠加原理，是泊松方程的个特解。与万有引力势函数公式类似格林公式数学物理方程第三章调和方程物理意义对于稳定的温度场，在内部无热源的情况下，任何封闭曲面上的热流量应该为零。格林公式数学物理方程第三章调和方程定理球面平均值定理设函数在以曲面Г为境界的区域内调和，对于包含在内的每个闭球，在球心处的值等于在该球的边界球面上的积分平均值。用公式表示可以写为证把公式运用到球心在点，半径为的球面Г上，得到这里，在球面上平均值定理数学物理方程第三章调和方程为零平均值定理数学物理方程第三章调和方程定理极值原理设不恒为常数的函数在以曲面Г为境界的区域内调和，它在的内点上的值不可能达到它在上的上界或下界。推论调和函数的最大值和最小值只能在区域边界取得。推论两个调和函数在边界Г上成立不等式，那么在内该不等式同样成立只有在≡时，不等式中的等号才有成立的可能。极值原理数学物理方程第三章调和方程先考察调和方程的狄利克雷内问题。定理调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，必是唯的，而且连续依赖于边界条件。证假设两个调和函数和，它们在有界区域的边界Г上完全相同，那么它们的差在中也满足调和方程，而在Г上等于零。按照前面的推论，≡，即狄利克雷内问题的解唯。其次，假设在边界上给定了两个函数和，而且在Г上处处成立设和，分别是调和方程在区域上的以和为边界条件的狄利克雷内问题的解。那么调和函数在Г上取值。由极值定理的推论得到因此，在区域上各点有连续依赖性得证第边值问题解的唯性和稳定性数学物理方程第三章调和方程现在转而研究调和方程的狄利克雷外问题。设，是狄利克雷外问题的解，令，则调和函数在边界Г和无穷远处取值为零。即，此时取个半径足够大的球面Г，让这个球面与边界Г起形成封闭的空间，利用前面狄利克雷内问题解的唯性和稳定性证明方法，我们可以得到下面的定理定理调和方程的狄利克雷外问题的解如果存在，必是唯的，而且连续依赖于边界条件。此定理的证明作为课后练习。第边值问题解的唯性和稳定性数学物理方程第三章调和方程课后作业题，。数学物理方程第三章调和方程建立方程定解条件第三章调和方程格林公式及其应用数学物理方程第三章调和方程方程的导出建立方程定解条件定解条件和定解问题变分原理数学物理方程第三章调和方程物理背景用于描述稳定或平衡的物理现象。方程的建立及其定解条件调和方程，又称拉普拉斯方程，其三维形式为这个方程相应的非齐次方程，称为泊松方程，即这类方程在力学物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程静电场中的电位势满足泊松方程。数学物理方程第三章调和方程调和方程举例静电场电势确定所要研究的物理量根据物理规律建立微分方程对方程进行化简拉普拉斯方程泊松方程数学物理方程第三章调和方程方程的导出下面我们回忆物理学中导出调和方程和泊松方程的实例。历史上导致调和方程的个著名实例来自牛顿万有引力。根据万有引力定律，位于处质量为的质点对位于处具有单位质量的质点的引力,其大小等于，而作用方向沿着这两点的连线，指向点，其中为两点之间的距离。写为向量形式，即为称为引力场函数。显然引力场函数是位势函数的梯度。除了允许相差个任意常数外，位势函数是任意确定的。对于以密度分布在区域上的质量而言，根据叠加原理，它所产生的总引力位势为数学物理方程第三章调和方程通过直接计算可以验证,在外满足调和方程，还可以进步验证，若满足条件，则在内满足泊松方程。另个例子是静电场的电位势。设空间有电荷密度为的静电场，在此电场内任取个封闭曲面包围的区域，由静电学知，通过向外的电通量等于中总电量的倍，即成立其中为电场强度矢量，而为上的单位外法线向量。利用格林公式并注意到的任意性，可得。又由库仑定律可知，静电场是有势的，即存在静电位势，使。于是得到静电位势满足以下的泊松方程。特别地，当区域内没有电荷存在时，此区域内的静电位势满足调和方程。与复变函数中样，我们把具有关于空间变量的二阶连续偏导数，且满足调和方程的函数称为调和函数。复变函数中涉及的只是二元函数。数学物理方程第三章调和方程定解条件和定解问题要在空间的个区域中确定方程和的解，还必须附加些定解条件。现在这两个方程中并未出现时间变量，因此它们的解与时间无关，所以在定解条件中只有边界条件，其定解问题是种边值问题。与前面的波动方程和热传导方程类似，对方程和也可以提出三种类型的边界条件。本次课程只研究第及第二边值问题。第边值问题狄利克雷条件第二边值问题诺依曼条件数学物理方程第三章调和方程习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。也就是说在光滑的闭曲面Г的内部寻找满足边界条件的调和函数。但在实际运用中，常常会遇到些无界区域的问题。例如要确定个热源物体外部的稳定温度场。这种情况下，需要在闭曲面Г的外部寻找满足边界条件的调和函数。为了显示区别，我们把前种定解问题称为狄利克雷内问题和诺依曼内问题，把后类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。流体力学的内流问题和外流问题就是上述问题的典型代表。考虑不可压无粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程，且在物面边界Г上有法向无穿透条件内流问题的求解在边界Г内部进行，例如气罐或管道内流动。外流问题需要在边界Г外部的无限大区域内求解，例如翼型或飞机的绕流问题。从直观认识来看，对于外问题，前述的定解条件下外问题的解并不唯。以二维翼型流动为例，仅有法向无穿透条件是不够的，还需要在无穷远处施加来流条件速度大小和迎角等。这个问题课本上也有举例定解条件和定解问题数学物理方程第三章调和方程因此，对于狄利克雷或诺依曼外