„„因为的周期是，当时，且在，上是增函数，在，上是减函数，所以„„„答案题型二综合型函数创新题例四川以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合对于函数，存在个正数，使得函数的值域包含于区间，例如，当，时，，现有如下命题设函数的定义域为，则“”的充要条件是“∀，∃，”函数的充要条件是有最大值和最小值若函数，的定义域相同，且，，则∉若函数，有最大值，则其中的真命题有写出所有真命题的序号解析因为，所以函数的值域是，所以满足∀，∃同时若∀，∃则说明函数的值域是，则，所以正确因为令，取，则⊆但是没有最大值，所以错误因为，且它们的定义域相同设为所以存在区间，⊆使得在区间，上的值域与的值域相同，所以存在∉使得的值接近无穷，所以∉，所以正确因为当时，函数的值域是，所以函数若有最大值，则，此时因为对∀所以即，故，所以正确答案点评此类题目包含了与函数有关的较多的概念性质及对基本问题的处理方法解答这类题目，是要细心，读题看清要求二是要熟练掌握函数的基本性质及其判断应用的方法，掌握基本函数的图象与性质等变式训练设是全体平面向量构成的集合若映射满足对任意向量，，以及任意，均有，则称映射具有性质，现给出如下映射，，，其中，具有性质的映射的序号为写出所有具有性质的映射的序号解析，对于，而具有性质对于设，而中当时，都是的图象的对称轴故选答案高考题型精练设，是的两个非空子集，如果存在个从到的函数满足对任意，，当时，恒有那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是或高考题型精练对于，取满足题意解析对于，取，满足题意对于，取，满足题意排除法，选答案高考题型精练设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有高考题型精练解析特殊值法令，故错故错令故错答案高考题型精练设函数则下列结论错误的是的值域为,是偶函数不是周期函数不是单调函数解析中函数值只有两个和，正确中，若是无理数，则也是无理数，则若是有理数，则也是有理数，则，所以是偶函数，正确，为有理数为无理数，高考题型精练中，对于任意有理数，若是无理数，则也是无理数若是有理数，则也是有理数，不正确中，取任意两个数值与的大小不确定，故不存在单调性，正确答案高考题型精练在，上具有性质函数在，上有定义，若对任意，有，则称在，上具有性质设在,上具有性质，现给出如下命题在,上的图象是连续不断的若在处取得最大值，则，高考题型精练对任意，有其中真命题的序号是解析通过构造些特殊函数，排除不合适的选项，利用反证法证明正确，再两次应用定义式证明正确令可知对∀，高考题型精练都有，但在,上的图象不连续，故不正确令，则在,上具有性质，但在，上不具有性质，因为高考题型精练，故不正确对于，假设存在使得，因为，所以又当时，有，由在,上具有性质，得高考题型精练，由于故上式矛盾即对∀有，故正确对∀，高考题型精练，即正确答案高考题型精练高考题型精练高考题型精练解析对进行分段，确定函数的解析式由题意知，当时，设圆弧半径为，甲从沿圆弧移动到后停止，乙在点不动，高考题型精练则此时，此段图象为直线，当甲移动至点后，甲乙均不再移动，面积不再增加，选项中开始段函数图象不对，选项中后两段图象不对，选项中前两段函数图象不对，故选答案高考题型精练对于实数和，定义运算设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是高考题型精练解析由新定义可知，作出函数的图象，如图所示由图可知，当时，恰有三个互不相等的实数根专题函数与导数第练研创新以函数为背景的创新题型题型分析高考展望在近几年的高考命题中，以函数为背景的创新题型时有出现主要以新定义新运算或新规定等形式给出问题，通过判断运算解决新问题这种题难度般为中档，多出现在选择题填空题中，考查频率虽然不是很高，但失分率较高通过研究命题特点及应对策略，可以做到有备无患常考题型精析高考题型精练题型与新定义有关的创新题型题型二综合型函数创新题常考题型精析题型与新定义有关的创新题型例山东已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足对任意，两个点，关于点，对称若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是解析由已知得，所以恒成立，即恒成立在同坐标系内，画出直线及半圆如图所示，可得，即，故答案为，答案，湖北设是定义在，上的函数，且对任意，若经过点，的直线与轴的交点为则称为，关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得即，为，的算术平均数当时为，的几何平均数当时为，的调和平均数依题意则，解析设且三点共线即因为，所以化简得，故可以选择依题意则，因为，所以化简得，故可以选择答案或填，其中，为正常数均可点评在两个题目中都出现了个新定义，即“对称函数”和“平均数”，解答这类题目关键在于解读新定义，利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法变式训练浙江设函数，„，记„,则解析因为，„所以，当时因为在，上是增函数，所以„„当时，因为在，上是增函数，在，上是减函数，所以„„„因为的周期是，当时，且在，上是增函数，在，上是减函数，所以„„„答案题型二综合型函数创新题例四川以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合对于函数，存在个正数，使得函数的值域包含于区间，例如，当，时，，现有如下命题设函数的定义域为，则“”的充要条件是“∀，∃，”函数的充要条件是有最大值和最小值若函数，的定义域相同，且，