证平面证明因为，所以又⊂平面，⊄平面，所以平面设是和的交点，求证对空间任点，有证明找点，并连接由知，同理，所以，即綊，故所以四边形是平行四边形所以，交于点且被平分题型二建立空间直角坐标系解决立体几何问题例湖南如图，已知四棱台的上下底面分别是边长为和的正方形且⊥底面，点，分别在棱，上若是的中点，证明⊥则相关各点的坐标为，其中,以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，解由题设知，两两垂直，证明若是的中点，则，，又，于是，所以⊥，即⊥由题设知是平面内的两个不共线向量设是平面的个法向量，则，即，取，得又平面的个法向量是，所以而二面角的余弦值为，因此，解得，舍去，此时设，而，由此得点，所以所以，即，亦即，从而因为平面，且平面的法向量是，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高故四面体的体积点评建平面内，同理可验证其他三个点不在平面内答案高考题型精练已知，若三向量共面，则实数等于高考题型精练解析由题意得，，答案高考题型精练如图，在长方体中为的中点，为的中点则与所成的角为以上都不正确高考题型精练解析以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得高考题型精练即⊥，⊥答案高考题型精练在正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心分别为，的中点，点为平面内点，线段与互相平分，则满足的实数有个高考题型精练的中点坐标为，解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为，则又知而在上，高考题型精练即点坐标满足有个符合题意的点，即对应有个答案高考题型精练如图，在正方体中，棱长为，分别为和上的点则与平面的位置关系是解析正方体棱长为高考题型精练又是平面的个法向量，高考题型精练，又⊄平面，平面答案平行⊥高考题型精练如图，在长方体中为的中点求证⊥证明以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图高考题型精练设，则，故，⊥，高考题型精练在棱上是否存在点，使得平面若存在，求的长若不存在，说明理由解假设在棱上存在点使得平面，此时又设平面的法向量⊥平面，⊥，⊥，高考题型精练得，取，得平面的个法向量要使平面，只要⊥，有，高考题型精练解得又⊄平面，存在点，满足平面，此时高考题型精练课标全国Ⅱ如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点证明平面证明连接交于点，连接因为为矩形，所以为的中点专题立体几何与空间向量第练空间向量解决立体几何问题两妙招“选基底”与“建系”题型分析高考展望向量作为个工具，其用途是非常广泛的，可以解决现高中阶段立体几何中的大部分问题，不管是证明位置关系还是求解问题而向量中最主要的两个手段就是选基底与建立空间直角坐标系在高考中，用向量解决立体几何解答题，几乎成了必然的选择常考题型精析高考题型精练题型选好基底解决立体几何问题题型二建立空间直角坐标系解决立体几何问题常考题型精析题型选好基底解决立体几何问题例如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点分别是的中点求证⊥，⊥证明设由题意可知，且三向量两两夹角均为，⊥，同理可证⊥求的长解由可知的长为求异面直线与夹角的余弦值解设向量与的夹角为又，向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线与夹角的余弦值为点评对于不易建立直角坐标系的题目，选择好“基底”也可使问题顺利解决“基底”就是个坐标系，选择时，作为基底的向量般为已知向量，且能进行运算，还需能将其他向量线性表示变式训练已知分别是空间四边形的边的中点，求证四点共面证明连接，则，由共面向量定理的推论知四点共面求证平面证明因为，所以又⊂平面，⊄平面，所以平面设是和的交点，求证对空间任点，有证明找点，并连接由知，同理，所以，即綊，故所以四边形是平行四边形所以，交于点且被平分题型二建立空间直角坐标系解决立体几何问题例湖南如图，已知四棱台的上下底面分别是边长为和的正方形且⊥底面，点，分别在棱，上若是的中点，证明⊥则相关各点的坐标为，其中,以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，