又，故所以与平面所成角的正弦值为点评求直线与平面所成的角，先确定在上的射影，在上取点作的垂线，或观察原图中是否存在这样的线，或是否存在过上点与垂直的面找到线面角作出说明，并通过解三角形求之利用向量求线面角设直线的方向向量和平面的法向量分别为则直线与平面所成角满足，变式训练如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，⊥，垂足为，是四棱锥的高，为的中点证明⊥证明以为原点，所在直线分别为轴，线段的长为单位长度，建立空间直角坐标系如图，则,设则，可得,因为，所以⊥若，求直线与平面所成角的正弦值解由已知条件可得故，，,设为平面的法向量，则，即，因此可以取又，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为题型三二面角例山东如图，在三棱台中，分别为，的中点求证平面证明如图，连接设∩，连接，在三棱台中为的中点，可得所以四边形为平行四边形则为的中点，又为的中点，所以，又⊂平面，⊄平面，所以平面若⊥平面，⊥，求平面与平面所成的角锐角的大小解方法设，则在三棱台中，为的中点，由，可得四边形为平行四边形，因此，又⊥平面，所以⊥平面在中，由⊥，，是中点所以，⊥，因此两两垂直以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系所以,可得故，设是平面的个法向量，则由，可得，可得平面的个法向量因为是平面的个法向量,所以，所以平面与平面所成角锐角的大小为方法二作⊥于点，作⊥于点，连接设由⊥平面，得⊥，又∩，所以⊥平面因此⊥，所以即为所求的角在中，由，可得，从而由⊥平面，⊂平面，得⊥，因此，所以，所以夹的角，即为二面角的平面角空间点垂面法自空间点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角用向量法求二面角的大小如图，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小，如图分别是二面角的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足，或，变式训练安徽如图所示，在多面体，四边形均为正方形，为的中点，过的平面交于证明证明由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又⊂面，⊄面，于是面又⊂面，面∩面，所以求二面角的余弦值解因为四边形均为正方形，所以⊥，⊥，⊥且以为原点，分别以为轴，轴和轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标而点为的中点，设面的法向量，而该面上向量由⊥⊥得应满足的方程组为其组解，所以可取设面的法向量，所以点的坐标为而该面上向量由此同理可得所以结合图形知二面角的余弦值为高考题型精练浙江如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则高考题型精练解析极限思想若，则，排除若，如图，则，都可以大于，排除，故选答案高考题型精练在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为解析以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为，则，高考题型精练，，设平面的个法向量为，则，高考题型精练平面的个法向量为，即所成的锐二面角的余弦值为答案高考题型精练大纲全国已知二面角为，⊂，⊥，为垂足，⊂，，，则异面直线与所成角的余弦值为解析方法如图，平移至，则为所求作二面角的平面角，高考题型精练由得又，方法二如图，设，过点作⊥，垂足为，作，则即为所求高考题型精练从而，过点作⊥于，连接则易知为二面角的平面角，即，在中，高考题型精练，在中，由余弦定理，得即异面直线与所成角的余弦值为答案高考题型精练四川如图，在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是高考题型精练解析根据题意可知平面⊥平面且两平面的交线是，所以过点作交线的垂线，则⊥平面，所以或其补角就是直线与平面所成的角设正方体的边长为，则根据图形可知直线与平面可以垂直高考题型精练当点与点重合时可得所以，所以当点与点重合时，可得根据选项可知正确答案高考题型精练如图所示，在三棱柱中，⊥底面，点分别是棱的中点，则直线和所成的角是解析以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系设，专题立体几何与空间向量第练“空间角”攻略题型分析高考展望空间角包括异面直线所成的角，线面角以及二面角，在高考中频繁出现，也是高考立体几何题目中的难点所在掌握好本节内容首先要理解这些角的概念，其次要弄清这些角的范围，最后再求解这些角在未来的高考中，空间角将是高考考查的重点，借助向量求空间角，将是解决这类题目的主要方法常考题型精析高考题型精练题型异面直线所成的角题型二直线与平面所成的角题型三二面角常考题型精析题型异面直线所成的角例在棱长为的正方体中，求异面直线与所成的角解方法因为所以因为⊥，⊥，⊥，所以所以又所以所以异面直线与所成的角为方法二连接则由条件可知，从而与所成的角即为与所成的角，由于该几何体为边长为的正方体，于是为正三角形，，从而所求异面直线与所成的角为方法三由于该几何体为正方体，所以两两垂直且长度均为，于是以为坐标原点分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，于是有从而且，即，所以所求异面直线与所成角为如果题目条件易建立空间坐标系，可以借助空间向量来求异面直线所成角设异面直线，的方向向量分别为则与所成的角满足，变式训练课标全国Ⅱ直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为解析由于，三棱柱为直三棱柱，且，可将三棱柱补成正方体建立如图所示空间直角坐标系设正方体棱长为，则可得答案题型二直线与平面所成的角例课标全国Ⅱ如图，长方体中点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成个正方形在图中画出这个正方形不必说明画法和理由解交线围成的正方形如图于是，所以求直线与平面所成角的正弦值解作⊥，垂足为，则，因为为正方形，所以以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则，即所以可取又，故所以与平面所成角的正弦值为点评求直线与平面所成的角，先确定在上的射影，在上取点作的垂线，或观察原图中是否存在这样的线，或是否存在过上点与垂直的面找到线面角作出说明，并通过解三角形求之利用向量求线面角设直线的方向向量和平面的法向量分别为则直线与平面所成角满足，变式训练如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，⊥，垂足为，是四棱锥的高，为的中点证明⊥证明以为原点，所在直线分别为轴，线段的长为单位长度，建立空间直角坐标系如图，则,设则，可得,因为，所以⊥若，求直线与平面所成角的正弦值解由已知条件