为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围般地，恒成立，只需即可恒成立，只需即可函数思想法将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值最值，然后构建不等式求解不等式的恒成立与能成立问题对切恒成立⇔是的解集的子集⇔对能成立⇔与的解集的交集不是空集⇔对∀，使得⇔对∀，∃使得⇔热点导数在实际问题中的应用例徐州质检现有张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失如图，若长方形的个角剪下块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为，体积为求出与的关系式求该铁皮盒体积的最大值解由题意得，即，铁皮盒体积令，得，因为，是增函数，是减函数，所以，在时取得极大值，也是最大值，其值为所以该铁皮盒体积的最大值是探究提高在利用导数求实际问题中的最大值和最小值时，不仅要注意函数模型中的定义域，还要注意实际问题的意义，不符合的解要舍去训练时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的种趋势，假设网校的套题每日的销售量单位千套与销售价格单位元套满足关系式，其中，为常数已知销售价格为元套时，每日可售出套题千套求的值假设网校的员工工资办公等所有开销折合为每套题元只考虑销售出的套数，试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大保留位小数解因为时代入关系式，得，解得由可知，套题每日的销售量，所以每日销售套题所获得的利润，从而令，得，且在，上，函数单调递增在，上，函数单调递减，所以是函数在，内的极大值点，也是最大值点，所以当时，函数取得最大值故当销售价格为元套时，网校每日销售套题所获得的利润最大热点二导数与不等式问题微题型利用导数证明不等式例新课标全国Ⅰ卷设函数，曲线在点，处的切线方程为求证明解函数的定义域为，，由题意可得，故，证明由知从而等价于设函数，则来证明不等式在证明不等式时，如果不等式较为复杂，则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式，再进行证明微题型存在与恒成立问题例南京盐城模拟已知函数当时，讨论的单调性设，当时，若对任意存在使，求实数的取值范围解因为，所以，，令，，ⅰ当时，，所以当，时此时，函数单调递减当，时此时，函数单调递增ⅱ当时，由，即，解得，当时恒成立，此时，函数在，上单调递减当时，时此时，函数单调递减，时此时，函数单调递增，时此时，函数单调递减当时，由于，，时此时，函数单调递减，时此时，函数单调递增综上所述，当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增当时，函数在，上单调递减当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递减因为由，知，∉当，时函数单调递减当，时函数单调递增，所以在，上的最小值为由于“对任意存在使”等价于“在，上的最小值不大于在，上的最小值”，又，所以当时，因为，此时与矛盾当，时，因为，同样与矛盾当，时，因为，解不等式，可得综上，可得的取值范围是，探究提高存在性问题和恒成立问题的区别与联系存在性问题和恒成立问题容易混淆，它们既有区别又有联系若恒成立，则若恒成立，则若有解，则若有解，则训练泰州调研已知函数为常数若是函数的个极值点，求的值当时，试判断的单调性若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围解由已知得，所以，所以当时，因为，所以，而，即，故在，上是增函数当，时，由知，在，上的最小值为，故问题等价于对任意的不等式恒成立，即恒成立记，则令，则，所以在，上单调递减，所以，故，所以在，上单调递减，所以，即实数的取值范围为，不等式恒成立能成立问题常用解法有分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如或直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论数形结合利用导数证明不等式的基本步骤作差或变形构造新的函数利用导数研究的单调性或最值根据单调性及最值，得到所证不等式导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题把证明不等式问题转化为函数的单调性问题把方程解的问题转化为函数的零点问题第讲导数与实际应用及不等式问题高考定位高考对本内容的考查主要有导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是级导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力估计以后对导数的考查力度不会减弱作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在真题感悟江苏卷已知函数，其中是自然对数的底数证明是上的偶函数若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围已知正数满足存在，，使得成立试比较与的大小，并证明你的结论证明因为对任意，都有，所以是上的偶函数解由条件知在，上恒成立令，则，所以对任意成立因为，所以，当且仅当，即时等号成立因此实数的取值范围是，解令函数，则当时又，故所以是，上的单调增函数，因此在，上的最小值是由于存在，，使成立，当且仅当最小值令函数，则令，得，当，时故是，上的单调增函数所以在，上的最小值是注意到，所以当，⊆，时当，⊆，时所以对任意的，成立当，⊆，时即，故综上所述，当，时，考点整合解决函数的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域，其解题步骤是阅读理解，审清题意分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式解函数模型利用数学方法得出函数模型的数学结果实际问题作答将数学问题的结果转化成实际问题作出解答常见构造辅助函数的四种方法移项法证明不等式的问题转化为证明，进而构造辅助函数构造“形似”函数对原不等式同解变形，如移项通分取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数放缩法若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数主元法对于或可化为，的不等式，可选或为主元，构造函数，或，利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法分离参数法将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围般地，恒成立，只需即可恒成立，只需即可函数思想法将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值最值，然后构建不等式求解不等式的恒成立与能成立问题对切恒成立⇔是的解集的子集⇔对能成立⇔与的解集的交集不是空集⇔对∀，使得⇔对∀，∃使得⇔热点导数在实际问题中的应用例徐州质检现有张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失如图，若长方形的个角剪下块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为