1、设广告商要求包装盒的侧面积最大，试问取何值解设包装盒的高为，底面边长为由已知得，所以当时，取得最大值厂商要求包装盒的容积最大，试问应取何值并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解，由，得舍或当,时，当,时所以当时，取得极大值，也是最大值此时即包装盒的高与底面边长的比值为审题路线图规范解答温馨提醒审题路线图系列审条件挖隐含典例分设，如果存，而，所以即的取值范围为，已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是，，解析，由已知可得有两个不相等的实根，即或若函数在，上的最大值为，则的值为解析，若，当时，单调递减，当，单调递增，当时，令，不合题意若，则，在，上单调递减答案已知，都是定义在上的函数，，且，且，若数列的前项和大于，则的最小值为解析由。

2、成立解由题意得，即由知在，内单调递增，要使对，恒成立只要，，解得已知，，其中是自然对数的底数，讨论时，函数的单调性和极值解，当，此时单调递增的极小值为求证在的条件下，证明的极小值为，即在，上的最小值为，又，当，在，上单调递增，在的条件下是否存在正实数，使的最小值是若存在，求出的值若不存在，请说明理由解假设存在正实数，使，有最小值，则当时，在，上单调递减，在，上单调递增，满足条件当时，在，上单调递减舍去，所以，此时无最小值综上，存在实数，使得当，时有最小值数学苏理导数的综合应用第三章导数及其应用基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分利用导数解决生活中的优化问题的般步骤分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式求函数的导数，解方程。

3、若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围函数在区间，和，上均单调，当时曲线与直线有且仅有两个不同交点综上可知，的取值范围是，解析思维升华例若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围解析思维升华例若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围函数零点或函数图象交点问题的求解，般利用导数研究函数的单调性极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程或不等式组求解，实现形与数的和谐统跟踪训练已知函数，求的单调区间解，当，当时，由，解得由时，的单调增区间为，，单调减区间为，跟踪训练已知函数，求的单调区间若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围解在处取得极值，由，解得，由中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值直线与函数的图象有三个不同的交点，结合如图所示的图象可知实数的取值范围是。

4、题型利用导数证明不等式例课标全国Ⅰ设函数，曲线在点，处的切线方程为求由题意可得，故，解析思维升华证明可转化为证明的最小值大于，再利用导数求的最小值对于的最小值，不易求出的情况，也可以通过，的最值情况进行证明如本题中题型利用导数证明不等式例课标全国Ⅰ设函数，曲线在点，处的切线方程为求解析思维升华例证明例证明解析思维升华证明由知，，从而等价于设函数，则所以当，时，故在，上单调递减，例证明解析思维升华在，上单调递增，从而在，上的最小值为设函数，则所以当,时，当，时例证明故在,上单调递增，在，上单调递减，解析思维升华从而在，上的最大值为所以又因为两等号无法同时取到，所以综上，当时，即解析思维升华例证明证明可转化为证明的最小值大于，再利用导数求的最小值对于的最小值，不易求出的情况，也可以通过，的最值情况进行证明如本题中跟。

5、千克时，每日可售出该商品千克求的值思维点拨解析思维升华例若该商品的成本为元千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大建立商场每日销售该商品所获利润和售价的函数关系，利用导数求最值思维点拨解析思维升华例若该商品的成本为元千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大例若该商品的成本为元千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思维点拨解析思维升华解由可知，该商品每日的销售量为所以商场每日销售该商品所获得的利润为,从而，例若该商品的成本为元千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大于是，当变化时的变化情况如下表单调递增极大值单调递减由上表可得，时，函数在区间,内取得极大值，也是最大值思维点拨解析思维升华例若该商品的成本为元千克，试确定销售价。

6、比较函数在区间端点和的点的函数值的大小，最大小者为最大小值回归实际问题作答不等式问题证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”连续函数在闭区间上必有最值函数的极小值也是最小值函数和都是在时取得最小值函数没有最值已知则若，则方程在,上没有实数根题号答案解析设，则令，得根据函数与的图象可知两函数图象交点因此函数在,上不是单调函数，故不正确设，则又解析思维升华题型利用导数证明不等式例课标全国Ⅰ设函数，曲线在点，处的切线方程为求解函数的定义域为，，解析思维升。

7、，知在上是增函数，即为增函数又，或舍数列的前项和„即答案已知是奇函数，当,时，当,时，的最小值为，则解析是奇函数，且当,时，的最小值为，在,上的最大值为当,时令得，又，当，在，上单调递增当时，在，上单调递减，解得答案已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则解析设，对求导可得令，可得，易知在，上单调递增，在,上单调递减由题意知，或，若，可得若，可得答案或设函数，若对于任意都有成立，则实数的值为解析若，则不论取何值，都成立当，即,时，可化为设，则，所以在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，因此，从而当即,时，可化为，在区间,上单调递增，因此，从而，综上答案设为实数，函数，求的单调区间与极值解由，知，令，得于是当变化时的变化情况如下表单调递减↘单调递增。

8、↗故的单调递减区间是单调递增区间是，，在处取得极小值，极小值为求证当且时证明设，，于是，由知当时，取最小值为于是对任意，都有，所以在内单调递增于是当时，对任意，，都有而，从而对任意，，都有即，故统计表明，种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量升关于行驶速度千米小时的函数解析式可以表示为已知甲乙两地相距千米当汽车以千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升共耗油升因此，当汽车以千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油升解当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少最少为多少升解当速度为千米小时时，设耗油量为升，汽车从甲地到乙地行驶了小时，依题意得，是增函数，所以当时，取得极小值易知是在,上的最小值故当汽车以千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升。

9、表明，该商品每日的销售量单位千克与销售价格单位元千克满足关系式，其中，为常数已知销售价格为元千克时，每日可售出该商品千克求的值解因为时思维点拨解析思维升华题型三生活中的优化问题例商场销售种商品的经验表明，该商品每日的销售量单位千克与销售价格单位元千克满足关系式，其中，为常数已知销售价格为元千克时，每日可售出该商品千克求的值所以，在求实际问题中的最大值或最小值时，般先设自变量因变量建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求实际问题中的最大小值，如果函数在区间内只有个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点思维点拨解析思维升华题型三生活中的优化问题例商场销售种商品的经验表明，该商品每日的销售量单位千克与销售价格单位元千克满足关系式，其中，为常数已知销售价格为元。

10、格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于答当销售价格为元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华例若该商品的成本为元千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大在求实际问题中的最大值或最小值时，般先设自变量因变量建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求实际问题中的最大小值，如果函数在区间内只有个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点跟踪训练请你设计个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，四个点重合于图中的点，正好形成个正四棱柱形状的包装盒在上，是被切去的个等腰直角三角形斜边的两个端点。

11、踪训练证明当,时，证明记，则当，时，在，上是增函数当，时所以当,时即记，则当,时，所以在,上是减函数，则，即综上,跟踪训练证明当,时，例北京已知函数若曲线在点，处与直线相切，求与的值题型二利用导数研究函数零点问题解析思维升华解由，得在点，处与直线相切且，则，解析思维升华例北京已知函数若曲线在点，处与直线相切，求与的值题型二利用导数研究函数零点问题函数零点或函数图象交点问题的求解，般利用导数研究函数的单调性极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程或不等式组求解，实现形与数的和谐统解析思维升华例北京已知函数若曲线在点，处与直线相切，求与的值题型二利用导数研究函数零点问题例若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围解析思维升华解令，得当时，在，上递增当时，在，上递减的最小值为解析思维升华例。

12、宁改编当,时，不等式恒成立，则实数的取值范围是解析当时，变为恒成立，即当,时，设，，在,上递增当,时仍设，当，时，当时，有极小值，即为最小值而，综上知答案，已知函数，，若，则的取值范围是解析⇔，，成立由得在区间，上恒成立当时，当，则，可知为减函数当时，故为增函数，所以恒成立当时，因为所以，故为减函数，所以，满足成立如时，取，则成立，可知时，不符合题意故由可知的取值范围是,答案,已知若∃，，使得成立，则实数的取值范围是解析，当时，函数单调递增当时，函数单调递减所以函数的最小值为而函数的最大值为，则由题意，可得即答案，设函数求的单调区间解因为，其中，所以由于，所以的增区间为减区间为，求所有的实数，使对，恒。

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