，求线段的中点的轨迹方程点拨因为很难找到动点的横纵坐标，的直接关系，因此可考虑用参数法求轨迹方程，分析与动点位置有关的因素，点的位置直接与点有关，可取为参数，建立轨迹方程栏目链接解析建立如右图所示的直角坐标系，设，取为参数，则，设的中点的坐标为根据中点坐标公式得点的轨迹方程为，为参数，栏目链接解题提示用参数法求动点的轨迹方程时最关键的是选参数，重要的是确定参数的取值范围，这样可使解题过程简化，使得到的结论即轨迹图形正确有时可以先求出参数方程，再消去参数化为普通方程，有时也可把参数方程看做结果题型二参数方程与普通方程的互化栏目链接例化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线，为参数，为参数解析即，它表示条射线栏目链接，将代入，得普通方程为，它是抛物线的部分栏目链接点评将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量和取值范围的扩大或者缩小，必须根据参数的取值范围确定参数和的值域，即和的取值范围参数方程化普通方程常用的方法是代入消参数法，当使用代入消参数法比较复杂时，可对式子先进行化简，再消参数，有时要利用代数恒等式的方法消去参数栏目链接►变式训练湖南卷在平面直角坐标系中，曲线，为参数的普通方程为解析由参数方程消去参数得，即答案栏目链接参数方程，为参数表示的曲线是双曲线双曲线的右支双曲线且，以上结论都不对栏目链接析疑难提能力栏目链接例将参数方程，为参数，化为普通方程，并说明方程表示的曲线错解由题意得两式分别平方相加得，它表示曲线是以，为圆心，为半径的圆点拨因为很难找到动点的横纵坐标，的直接关系，因此可考虑用参数法求轨迹方程，分析与动点位置有关的因素，点的位置直接与点有关，可取为参数，建立轨迹方程栏目链接解析建立如右图所示的直角坐标系，设，取为参数，则，设的中点的坐标为根据中点坐标公式得点的轨迹方程为，为参数，栏目链接解题提示用参数法求动点的轨迹方程时最关键的是选参数，重要的是确定参数的取值范围，这样可使解题过程简化，使得到的结论即轨迹图形正确有时可以先求出参数方程，再消去参数化为普通方程，有时也可把参数方程看做结果题型二参数方程与普通方程的互化栏目链接例化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线，为参数，为参数解析即，它表示条射线栏目链接，将代入，得普通方程为，它是抛物线的部分栏目链接点评将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量和取值范围的扩大或者缩小，必须根据参数的取值范围确定参数和的值域，即和的取值范围参数方程化普通方程常用的方法是代入消参数法，当使用代入消参数法比较复杂时，可对式子先进行化简，再消参数，有时要利用代数恒等式的方法消去参数栏目链接►变式训练湖南卷在平面直角坐标系中，曲线，为参数的普通方程为解析由参数方程消去参数得，即答案栏目链接参数方程，为参数表示的曲线是双曲线双曲线的右支双曲线且，以上结论都不对栏目链接析疑难提能力栏目链接例将参数方程，为参数，化为普通方程，并说明方程表示的曲线错解由题意得两式分别平方相加得，它表示曲线是以，为圆心，为半径的圆分析本题忽略了参数的取值范围，在参数方程中，，栏目链接正解，曲线的普通方程为，它表示的曲线是以，为圆心，为半径的上半圆栏目链接例将方程，为参数化为普通方程错解由得，代入得，这是条过，且斜率为的直线分析仅把代入消参得方程，没考虑的取值范围，即栏目链接正解由，有，代入得，这是以，为端点的条射线包括端点易错点参数方程化为普通方程时易忽略参数的取值范围易错点解析将参数方程化为普通方程时，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不致，因此在解题时定要验证普通方程与参数方程的等价性参数方程的概念栏目链接了解参数方程了解参数的意义能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程栏目链接题型参数方程的建立栏目链接例设飞机以匀速做水平飞行，若在飞行高度处投弹设炸弹的初速度等于飞机的速度求炸弹离开飞机后的轨迹方程试问飞机在离目标多远水平距离处投弹才能命中目标分析这是物理学中的平抛运动，选择合适的参变量将炸弹看作质点的水平方向和竖直方向的运动表示出来栏目链接解析如下图所示，为投弹点，坐标为为目标，坐标为，记炸弹飞行的时间为，在点设，为飞行曲线上的任点，它对应时刻，炸弹初速度，用物理学知识，分别计算水平竖直方向上的路程，得栏目链接即，这是炸弹飞行曲线的参数方程炸弹飞行到地面目标处的时间满足方程，即，解得由此得即飞机在离目标水平距离处投弹才能击中目标栏目链接例已知曲线的参数方程为，为参数判断点，与曲线的位置关系若点，在曲线上，求实数的值解析把点，的坐标代入方程组，解得，所以点，在曲线上把点，的坐标代入方程组，解得，所以点，也在曲线上把点，的坐标也代入方程组，得到，即故方程组无解，所以点不在曲线上栏目链接因为点，在曲线上，所以解得，或，所以点评参数方程是曲线上点的横纵坐标，都是变量的函数，因此，给出个能唯地求出对应的，的值，因而得出唯的对应点，但横纵坐标，之间的关系并不定是函数关系栏目链接►变式训练已知线段的位置和长度都定，点在其上运动在的同侧分别以，为边作正三角形与，求线段的中点的轨迹方程点拨因为很难找到动点的横纵坐标，的直接关系，因此可考虑用参数法求轨迹方程，分析与动点位置有关的因素，点的位置直接与点有关，可取为参数，建立轨迹方程栏目链接解析建立如右图所示的直角坐标系，设，取为参数，则，设的中点的坐标为根据中点坐标公式得点的轨迹方程为，为参数，栏目链接解题提示用参数法求动点的轨迹方程时最关键的是选参数，重要的是确定参数的取值范围，这样可使解题过程简化，使得到的结论即轨迹图形正确有时可以先求出参数方程，再消去参数化为普通方程，有时也可把参数方程看做结果题型二参数方程与普通方程的互化栏目链接例化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线，为参数，为参数解析即，它表示条射线栏目链接，将代入，得普通方程为，它是抛物线的部分栏目链接点评