1、线外点总有三条直线和抛物线有且只有个公共点两条切线和条平行于对称轴的直线平行两没有直线与抛物线相交的弦长若直线过抛物线的焦点，则弦长为弦的倾斜角若直线不过抛物线的焦点，则用求解必记结论过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的弦，则直线恒过定点,小题快做思考辨析直线与抛物线相交，定有两个交点直线与抛物线有个公共点，定是相切已知直线与抛物线交于，两点，且经过抛物线的焦点，点的坐标为则线段的中点到准线的距离是解析由知则点的坐标为,由题设可知，直线的斜率存在，设的方程为，点，的坐标分别为，又点,在直线上解得直线的方程为长度和线段之积和的最值可依据直线与抛物线相交，依据弦长公式，求出弦长或弦长关于个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离求直线方程先寻找确定直线的两个条。

2、背景及抛物线的简单应用从近三年高考情况来看，抛物线的定义标准方程及简单的几何性质等基础知识常以选择题填空题的形式考查，抛物线的概念及性质直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式考查，抛物线的切线方程与导数相联系及过抛物线焦点弦的定值问题应高度关注解题时要着重数学思想方法，掌握代数知识平面几何知识在解析几何中的应用考点多维探究考点抛物线的定义及其应用回扣教材抛物线的定义平面内到个定点和条定直线∉距离相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的，直线叫做抛物线的，抛物线关于过焦点与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴注意直线不经过点，若经过点，则轨迹为过定点且垂直于定直线的条直线焦点准线利用抛物线的定义求距离抛物线的离心率，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径焦点弦的问题，可以。

3、与坐标轴的交点，求抛物线的标准方程解对于直线方程，令，得，令，得，抛物线的焦点坐标为，或,当焦点坐标为，时，设方程为，则此时抛物线的标准方程为当焦点坐标为,时，设方程为，则此时抛物线的标准方程为所求抛物线的标准方程为或典例课标全国卷Ⅱ设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点则的方程为或或或或湖南高考如图，正方形和正方形的边长分别为，经过，两点，则解析由已知得抛物线的焦点设点点则，由已知得，即，因而，，由，得又，解得或，故选由正方形的定义可知，结合抛物线的定义得点为抛物线的焦点，所以，将点的坐标代入抛物线的方程得，变形得，解得或舍去，所以求抛物线的标准方程的方法及流程方法求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只。

4、过点,的直线与抛物线相交于，两点，又知点恰为的中点，则设是抛物线上的个动点，若则的最小值为解析由题意知抛物线的准线为因为，根据抛物线的定义可得，解得，故选分别过点作准线的垂线，垂足分别为，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得如图，过点作垂直准线于，交抛物线于点，则则有即的最小值为与抛物线定义有关的两个线段抛物线的焦半径焦点弦抛物线定义的作用将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离跟踪训练天津模拟已知动圆过定点且与直线相切，其中，则动圆圆心的轨迹的方程为解析依题意得，圆心到定点，的距离与到直线的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹方程为抛物线，其方程为过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，若，则解析因为抛物线的焦点,显然。

5、物线的标准方程为当焦点坐标为,时，设方程为，则此时抛物线的标准方程为所求抛物线的标准方程为或典例课标全国卷Ⅱ设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点则的方程为或或或或湖南高考如图，正方形和正方形的边长分别为，经过，两点，则解析由已知得抛物线的焦点设点点则，由已知得，即，因而，，由，得又，解得或，故选由正方形的定义可知，结合抛物线的定义得点为抛物线的焦点，所以，将点的坐标代入抛物线的方程得，变形得，解得或舍去，所以求抛物线的标准方程的方法及流程方法求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有，所以只需个条件确定值即可流程因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量确定及应用抛物线性质的关键与。

6、先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化利用抛物线的定义求最值该类问题般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离构造出“两点之间线段最短”，使问题得解将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”原理解决小题快做思考辨析平面内与个定点和条定直线的距离相等的点的轨迹定是抛物线抛物线的焦点到准线的距离是教材改编设抛物线上点到轴的距离是，则点到抛物线焦点的距离解析焦点坐标为点到准线的距离为，根据定义得到抛物线焦点的距离为若点到直线的距离比它到点,的距离小，则点的轨迹方程是解析根据抛物线的定义可得的轨迹方程为典例课标全国卷Ⅰ已知抛物线的焦点为是上点则辽宁五校联考设抛物线的焦点为，经。

7、，若缺少个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可求定值可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到跟踪训练设抛物线，为的焦点，过的直线与相交于两点设的斜率为，求的大小求证是个定值解直线的方程为，设由得证明设直线的方程为，由得是个定值方法与技巧认真区分四种形式的标准方程区分与，前者不是抛物线的标准方程求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为或抛物线的离心率，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即或失误与防范求抛物线的标准方程时般要用待定系数法求出值，但首先要判断抛物线是否。

8、为标准方程，以及是哪种标准方程注意应用抛物线的定义解决问题直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式微专题规范答题直线与圆锥曲线问题的求解策略典例山东高考已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意点，过点的直线交于另点，交轴的正半轴于点，且有当点的横坐标为时，为正三角形求的方程若直线，且和有且只有个公共点，证明直线过定点，并求出定点坐标的面积是否存在最小值若存在，请求出最小值若不存在，请说明理由解题视点关键是由，利用定义求直线与抛物线联立，点差法求斜率，基本不等式求最值解由题意知，设，则的中点为，因为，由抛物线的定义知，解得或舍去由，解得所以抛物线的方程为分由知,设，因为，则，由得，故故直线的斜率因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意得，得分设则，当时可得直线的方程为由，。

9、探究考点抛物线的标准方程及性质回扣教材抛物线的几何性质方程图形方程范围，，，，焦点，，准线焦半径对称轴轴顶点,离心率，，轴必记结论直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，如图，即当时，弦长最短为,为定值弦长为的倾斜角以为直径的圆与准线相切焦点对，在准线上射影的张角为小题快做思考辨析抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形方程表示的曲线是焦点在轴上的抛物线，且焦点坐标为准线方程是教材改编已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点则该抛物线的标准方程是解析根据抛物线标准方程的形式可设或都过第四象限的点，代入，坐标可求或或若抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点，求抛物线的标准方程解对于直线方程，令，得，令，得，抛物线的焦点坐标为，或,当焦点坐标为，时，设方程为，则此时抛。

10、巧关键利用抛物线方程确定及应用其焦点准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程技巧要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解跟踪训练郑州模拟如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为解析如图，分别过作⊥于，⊥于，由抛物线的定义知，，连接，则为等边三角形，过作⊥于，则为的中点，设交轴于，则，即，抛物线方程为，故选陕西高考若抛物线的准线经过双曲线的个焦点，则解析的准线方程为，又，所以必经过双曲线的左焦点所以，考点多维探究考点直线与抛物线的位置关系回扣教材直线与抛物线位置关系的判断直线与抛物线联立方程组，消去，得到的形式当时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴，此时与抛物线只有个交点当时，设其判别式为，相交⇔直线与抛物线有个交点相切⇔直线与抛物线有个交点相离⇔直线与抛物线交点注意过抛物。

11、当垂直于轴时，，所以的斜率存在，设的方程为，与抛物线联立，消去得，即，设，由根与系数的关系得又，所以，代入，得，所以故考点多维探究考点抛物线的标准方程及性质回扣教材抛物线的几何性质方程图形方程范围，，，，焦点，，准线焦半径对称轴轴顶点,离心率，，轴必记结论直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，如图，即当时，弦长最短为,为定值弦长为的倾斜角以为直径的圆与准线相切焦点对，在准线上射影的张角为小题快做思考辨析抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形方程表示的曲线是焦点在轴上的抛物线，且焦点坐标为准线方程是教材改编已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点则该抛物线的标准方程是解析根据抛物线标准方程的形式可设或都过第四象限的点，代入，坐标可求或或若抛物线的焦点为直线。

12、理可得，直线恒过点,当时，直线的方程为，过点所以直线过定点,分由知直线过焦点所以设直线的方程为因为点，在直线上，故设，直线的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得，所以，可求得，所以点到直线的距离为分则的面积，当且仅当，即时等号成立所以的面积的最小值为分满分心得解决直线与圆锥曲线结合的问题，般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系在解决此类问题时常用到焦半径弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为次关系即直线的关系，从而求直线斜率第八章平面解析几何第讲抛物线考纲展示三年高考总结掌握抛物线的定义几何图形标准方程及简单几何性质范围对称性顶点离心率理解数形结合的思想了解抛物线的实际。

参考资料：

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