解析椭圆方程可化为，又焦点是，已知椭圆的焦点在轴上，它与轴的个交点为，且为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为答案解析椭圆的焦点在轴上，则设方程为，两焦点，不妨设轴与椭圆的个交点为，由为正三角形可知，又焦点到椭圆上的点的最短距离为，于是由可得从而所求椭圆方程为求椭圆的长轴长短轴长焦点坐标顶点坐标和离心率解析将化为标准方程，椭圆长轴在轴上，其中，长轴长，短轴长，焦点坐标为，顶点坐标为离心率为典例探究学案求椭圆的长轴长短轴长离心率焦点和顶点坐标分析由题目可获取以下主要信息已知椭圆的方程研究椭圆的几何性质解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质根据椭圆的方程研究几何性质解析把已知方程化成标准方程，于是，椭圆的长轴长和短轴长分别是和，离心率，两个焦点坐标分别是四个顶点坐标分别是,方法规律总结由椭圆方程讨论其几何性质的步骤化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上由标准形式求，写出其几何性质已知两椭圆与，下列说法正确的是有相等的长轴有相等的短轴有相同的焦点有相等的焦距答案解析，又则两椭圆有相等的焦距求适合下列条件的椭圆的标准方程利用椭圆的几何性质求标准方程椭圆过点离心率在轴上的个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为分析求椭圆的标准方程要先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定中由离心率，及可知椭圆的标准方程中只有个待定系数，再由过点,可求之设短轴端点为，为个焦点，由条件知为等腰直角三角形，于是可求之解析若焦点在轴上，则，椭圆的方程为若焦点在轴上，则解得椭圆的方程为综上可知椭圆方程为或设椭圆的方程为如图所示，为等腰直角三角形，为斜边的中线高，且故所求椭圆的方程为方法规律总结已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式确立关于的方程组，求出参数写出标准方程已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上点到的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为答案解析组，求出参数写出标准方程已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上点到的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为答案解析依题意设椭圆的方程为椭圆上点到其两个焦点的距离之和为，⇒椭圆的离心率为，解得，椭圆的方程为为轴上点，是椭圆的两个焦点，为正三角形，且的中点恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率解析如图，连接求椭圆的离心率为正三角形，且为线段的中点⊥又由椭圆定义得，即，椭圆的离心率方法规律总结求椭圆离心率的值或取值范围问题，就是寻求的方程或不等式的问题若已知可直接代入求得若已知则使用求解若已知，则求，再利用或求解若已知的关系，可转化为关于离心率的方程不等式求值范围给出图形的问题，先由图形和条件找到的关系，再列方程不等式求解若个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是答案解析由题意得即，又若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，求的取值范围解题思路探究第步，审题审结论明确解题方向，求的取值范围，需利用条件建立关于的不等式求解审条件，发掘解题信息，直线与椭圆有公共点，则联立方程组有解，焦点在轴上，则项的分母较大直线与椭圆的位置关系第二步，建联系，找解题突破口，确定解答步骤由直线过定点，若定点在椭圆上或椭圆内，则直线与椭圆有公共点将直线与椭圆方程联立消元，当时，直线与椭圆有公共点第三步，规范解答解析由消去，得，直线与椭圆总有公共点，对任意都成立，恒成立即又椭圆的焦点在轴上已知斜率为的直线经过椭圆的右焦点交椭圆于，两点，求弦长解析设由椭圆方程知，右焦点，直线的方程为，代入椭圆方程得忽视焦点位置致误已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率，且过点求此椭圆的标准方程错解设椭圆的标准方程为，由题意知，解得，所以所求椭圆的标准方程为辨析上述解法没有讨论焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在轴上正解当焦点在轴上时，解法同上，所求椭圆的标准方程为当焦点在轴上时，设椭圆方程为，由题意得，解得所以所求椭圆的标准方程为综上可知椭圆的标准方程为或成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修圆锥曲线与方程第二章椭圆第二章椭圆的简单几何性质典例探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案理解椭圆的简单几何性质利用椭圆的简单几何性质解决些简单问题重点利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质难点椭圆的几何性质的实际应用椭圆的简单几何性质观察椭圆的形状，你能从图中看出它的范围吗它具有怎样的对称性椭圆上哪些点比较特殊思维导航新知导学观察椭圆的图形可以发现，椭圆是对称图形，也是对称图形事实上，在椭圆方程中以分别代替，方程不变，椭圆既关于对称，又关于对称，从而关于对称，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心轴轴轴坐标原点中心如图，椭圆与它的对称轴共有四个交点，即和，这四个点叫做椭圆的，线段叫做椭圆的，它的长等于线段叫做椭圆的，它的长等于显然，椭圆的两个焦点在它的上顶点长轴短轴长轴思维导航观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不样，哪些量影响其扁平程度怎样刻画新知导学椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率依据椭圆的几何性质填写下表标准方程图形标准方程焦点焦距范围对称性关于对称顶点轴长轴长，短轴长性质离心率,轴轴和原点,离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在中，，记则，越大，越小，椭圆越扁越小，越大，椭圆越圆根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质其性质可分为两类类是与坐标系无关的本身固有性质，如类是与坐标系有关的性质，如长短轴长焦距离心率顶点焦点牛刀小试陕西师大附中期中考试点,在椭圆上，则点,不在椭圆上点，不在椭圆上点，在椭圆上无法判断点，是否在椭圆上答案解析由方程可知此椭圆关于坐标轴与原点成轴对称与中心对称图形，所以点,关于坐标轴或原点的对称点均在椭圆上椭圆的个焦点是那么的值为答案解析椭圆方程可化为，又焦点是，已知椭圆的焦点在轴上，它与轴的个交点为，且为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为答案解析椭圆的焦点在轴上，则设方程为，两焦点，不妨设轴与椭圆的个交点为，由为正三角形可知，又焦点到椭圆上的点的最短距离为，于是由可得从而所求椭圆方程为求椭圆的长轴长短轴长焦点坐标顶点坐标和离心率解析将化为标准方程，椭圆长轴在轴上，其中，长轴长，短轴长，焦点坐标为，顶点坐标为离心率为典例探究学案求椭圆的长轴长短轴长离心率焦点和顶点坐标分析由题目可获取以下主要信息已知椭圆的方解析椭圆方程可化为，又焦点是，已知椭圆的焦点在轴上，它与轴的个交点为，且为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为答案解析椭圆的焦点在轴上，则设方程为，两焦点，不妨设轴与椭圆的个交点为，由为正三角形可知，又焦点到椭圆上的点的最短距离为，于是由可得从而所求椭圆方程为求椭圆的长轴长短轴长焦点坐标顶点坐标和离心率解析将化为标准方程，椭圆长轴在轴上，其中，长轴长，短轴长，焦点坐标为，顶点坐标为离心率为典例探究学案求椭圆的长轴长短轴长离心率焦点和顶点坐标分析由题目可获取以下主要信息已知椭圆的方程研究椭圆的几何性质解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质根据椭圆的方程研究几何性质解析把已知方程化成标准方程，于是，椭圆的长轴长和短轴长分别是和，离心率，两个焦点坐标分别是四个顶点坐标分别是,方法规律总结由椭圆方程讨论其几何性质的步骤化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上由标准形式求，写出其几何性质已知两椭圆与，下列说法正确的是有相等的长轴有相等的短轴有相同的焦点有相等的焦距答案解析，又则两椭圆有相等的焦距求适合下列条件的椭圆的标准方程利用椭圆的几何性质求标准方程椭圆过点离心率在轴上的个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为分析求椭圆的标准方程要先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定中由离心率，及可知椭圆的标准方程中只有个待定系数，再由过点,可求之设短轴端点为，为个焦点，由条件知为等腰直角三角形，于是可求之解析若焦点在轴上，则，椭圆的方程为若焦点在轴上，则解得椭圆的方程为综上可知椭圆方程为或设椭圆的方程为如图所示，为等腰直角三角形，为斜边的中线高，且故所求椭圆的方程为方法规律总结已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式确立关于的方程组，求出参数写出标准方程已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上点到的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为答案解析