则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在特别的当时根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线双曲线方程为，则它的右焦点坐标为答案解析双曲线方程化为，双曲线的右焦点坐标为，双曲线的焦距为答案解析由双曲线的标准方程，知则，因此，故选福建理若双曲线的左右焦点分别为点在双曲线上，且，则等于答案解析由题即，解得满足下列条件的点，的轨迹是什么图形答案以,为焦点的双曲线以,为焦点的双曲线的右支典例探究学案椭圆与双曲线有相同的焦点且是这两条曲线的个交点，则等于分析因为涉及与焦点的距离问题，可以首先考虑利用定义解决双曲线定义的应用解析由椭圆的定义得，由双曲线的定义得，由减去的差再除以得答案方法规律总结在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用已知双曲线上点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理余弦定理以及双曲线的定义列出关系式是双曲线上点，是双曲线的两个焦点，且，则的值为答案解析在双曲线中，故由是双曲线上点得，或又，已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线经过点，和求双曲线的标准方程求与双曲线有公共焦点，且过点，的双曲线方程分析可先设出双曲线的标准方程，再构造关于的方程组，求得，从而求得双曲线的标准方程注意对平方关系的运用待定系数法求双曲线的标准方程解析由已知可设所求双曲线方程为，则，解得双曲线的标准方程为解法设双曲线方程为，由题意易求得又双曲线过点又故所求双曲线的方程为解法二设双曲线方程为，将点，代入得，所求双曲线方程为方法规律总结利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下定位置根据条件判定双曲线的焦点在轴上还是在轴上，还是两坐标轴都有可能设方程根据焦点位置，设方程为或，焦点不定时，亦可设为寻关系根据已知条件列出关于或的方程组得方程解方程组，将或余弦定理求出解析由双曲线方程知，设，如图所示由双曲线定义，有，两边平方得，若，在中，由余弦定理得，而于是同理可求得若时，方法规律总结双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理余弦定理双曲线的定义等是经常使用的知识点另外，还经常结合，运用平方的方法，建立它与的联系，请同学们多加注意若是双曲线的两个焦点，在双曲线上，且，求的大小解析由双曲线的对称性，可设点在第象限，由双曲线的方程，知由双曲线的定义，得上式两边平方，得，由余弦定理，得已知方程，其中为实数，对于不同范围的值分别指出方程所表示的曲线类型分析解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论解析当时，表示两条与轴平行的直线当时，方程为，表示圆心在原点，半径为的圆分类讨论思想的应用当时，方程为，表示焦点在轴上的椭圆方法规律总结解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征讨论方程，此时方程表示焦点在轴上的椭圆注意参数取值范围对解题的影响已知双曲线的个焦点为求的值错解将双曲线方程化为标准方程因为焦点在轴上，所以所以，即，所以辨析上述解法有两处错误是确定错误，应该是二是的关系式用错了在双曲线中应为正解将双曲线方程化为，即因为个焦点是所以焦点在轴上，所以，所以所以已知定点,和定圆，动圆和圆相外切，并且过定点，求动圆圆心的轨迹方程解析设设动圆与圆的切点为则所以，即所以由双曲线的定义知，点轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且所以所以所求圆心的轨迹方程是点评求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这条件，动点轨迹实际上是双曲线的支若分别为双曲线的左右焦点即时，点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修圆锥曲线与方程第二章椭圆的简单几何性质第二章双曲线及其标准方程典例探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程会用待定系数法求双曲线的标准方程重点双曲线的定义及其标准方程难点双曲线标准方程的推导双曲线的定义思维导航我们已知函数的图象是双曲线，生活中我们也见过类似双曲线的形状的物品，如冷却塔的纵截面，那么双曲线是怎样定义的，怎样画出双曲线呢给你条拉链两个图钉支笔，你能画出双曲线吗新知导学类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义在平面内到两个定点距离之的绝对值等于定值大于且小于的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的，两焦点之间的距离叫做双曲线的差焦点焦距定义中为何强调“绝对值”和“，则动点的轨迹是双曲线定义中应注意关键词，若去掉定义中三个字，动点轨迹只能是两条射线不存在绝对值绝对值双曲线的支思维导航类比椭圆方程的建立过程，你该怎样建立双曲线的方程呢在椭圆标准方程推导过程中，是令，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令这样做有什么好处双曲线的标准方程新知导学焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点在轴上的双曲线的标准方程为在双曲线的标准方程中的关系为对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作用，也能有效的避免知识的混淆在学习双曲线知识时，要时时留意与椭圆进行对比椭圆双曲线的标准方程的区别和联系椭圆双曲线定义定义因为，所以令因为或或，不定大于在椭圆的标准方程中，判断焦点在哪个轴上是看项的大小，而在双曲线标准方程中，判断焦点在哪个轴上，是看的符号分母系数牛刀小试已知两定点，在满足下列条件的平面内动点的轨迹中，是双曲线的是答案解析中，动点的轨迹不存在中即，根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线，故选点评注意双曲线定义中的“小于”这限制条件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”实际上，若，即，根据平面几何知识，当时，动点轨迹是以为端点的条射线当时，动点轨迹是以为端点的条射线若，即，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在特别的当时根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线双曲线方程为，则它的右焦点坐标为答案解析双曲线方程化为，双曲线的右焦点坐标为，双曲线的焦距为答案解析由双曲线的标准方程，知则，因此，故选福建理若双曲线的左右焦点分别为点在双曲线上，且，则等于答案解析由题即，解得满足下列条件的点，的轨迹是什么图形答案以,为焦点的双曲线以,为焦点的双曲线的右支典例探究学案椭圆与双曲线有相同的焦点，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在特别的当时根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线双曲线方程为，则它的右焦点坐标为答案解析双曲线方程化为，双曲线的右焦点坐标为，双曲线的焦距为答案解析由双曲线的标准方程，知则，因此，故选福建理若双曲线的左右焦点分别为点在双曲线上，且，则等于答案解析由题即，解得满足下列条件的点，的轨迹是什么图形答案以,为焦点的双曲线以,为焦点的双曲线的右支典例探究学案椭圆与双曲线有相同的焦点且是这两条曲线的个交点，则等于分析因为涉及与焦点的距离问题，可以首先考虑利用定义解决双曲线定义的应用解析由椭圆的定义得，由双曲线的定义得，由减去的差再除以得答案方法规律总结在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用已知双曲线上点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理余弦定理以及双曲线的定义列出关系式是双曲线上点，是双曲线的两个焦点，且，则的值为答案解析在双曲线中，故由是双曲线上点得，或又，已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线经过点，和求双曲线的标准方程求与双曲线有公共焦点，且过点，的双曲线方程分析可先设出双曲线的标准方程，再构造关于的方程组，求得，从而求得双曲线的标准方程注意对平方关系的运用待定系数法求双曲线的标准方程解析由已知可设所求双曲线方程为，则，解得双曲线的标准方程为解法设双曲线方程为，由题意易求得又双曲线过点又故所求双曲线的方程为解法二设双曲线方程为，将点，代入得，所求双曲线方程为方法规律总结利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下定位置根据条件判定双曲线的焦点在轴上还是在轴上，还是两坐标轴都有可能设方程根据焦点位置，设方程为或，焦点不定时，亦可设为寻关系根据已知条件列出关于或的方程组得方程解方程组，将或