义法根据题目条件判断是否满足椭圆定义,若满足,求出相应即可求得方程待定系数法首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于,方程组若焦点位置不确定,则要分类讨论有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为形式求满足下列各条件椭圆标准方程长轴长是短轴长倍,且经过点在轴上个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且焦距为椭圆对称轴是坐标轴,为坐标原点,是个焦点,是个顶点,椭圆长轴长是,且 椭圆过点且离心率  解析设椭圆标准方程为 或  由已知得,由于椭圆过点从而有  或  ,解得,或,故所求椭圆标准方程为  或  如图所示,为等腰直角三角形,为斜边中线高,且 故所求椭圆标准方程为   ,不是长轴端点,而是短轴端点又椭圆长轴长是又,  ,椭圆标准方程是  或  当椭圆焦点在轴上时  , ,从而,椭圆标准方程为  当椭圆焦点在轴上时  ,  ,椭圆标准方程为  所求椭圆标准方程为  或  典例课标Ⅱ分设,分别是椭圆  左,右焦点,是上点且与轴垂直直线与另个交点为若直线斜率为 ,求离心率若直线在轴上截距为,且,求,解析根据 及题设知 ,将代入,解得  或 舍去故离心率为 由题意,得原点为中点,轴,所以直线与轴交点,,椭圆几何性质是线段中点,故 ,即 由得设由题意知,则 即 代入方程,得   将及 代入得  解得故, ,求椭圆离心率方法定义法直接求出,值来解,通过已知条件列方程,解出,值解方程法由已知条件得出关于,二元齐次方程,然后转化为关于离心率元二次方程求解通过特殊值或椭圆对称轴是坐标轴,为坐标原点,是个焦点,是个顶点,椭圆长轴长是,且 椭圆过点且离心率  解析设椭圆标准方程为 或  由已知得,由于椭圆过点从而有  或  ,解得,或,故所求椭圆标准方程为  或  如图所示,为等腰直角三角形,为斜边中线高,且 故所求椭圆标准方程为   ,不是长轴端点,而是短轴端点又椭圆长轴长是又,  ,椭圆标准方程是  或  当椭圆焦点在轴上时  , ,从而,椭圆标准方程为  当椭圆焦点在轴上时  ,  ,椭圆标准方程为  所求椭圆标准方程为  或  典例课标Ⅱ分设,分别是椭圆  左,右焦点,是上点且与轴垂直直线与另个交点为若直线斜率为 ,求离心率若直线在轴上截距为,且,求,解析根据 及题设知 ,将代入,解得  或 舍去故离心率为 由题意,得原点为中点,轴,所以直线与轴交点,,椭圆几何性质是线段中点,故 ,即 由得设由题意知,则 即 代入方程,得   将及 代入得  解得故, ,求椭圆离心率方法定义法直接求出,值来解,通过已知条件列方程,解出,值解方程法由已知条件得出关于,二元齐次方程,然后转化为关于离心率元二次方程求解通过特殊值或特殊位置求离心率此方法多用于选择题和填空题求椭圆离心率最值,往往借助图形性质椭圆范围正余弦函数有界性基本不等式等来构造关于不等式,从而达到求解目已知椭圆  左焦点为,与过原点直线相交于,两点,连结,若 ,求离心率解析如图,设右焦点为则  解得,故由椭圆及直线关于原点对称可知,且,是直角三角形故  椭圆  左,右焦点分别为若椭圆上恰好有个不同点,使得为等腰三角形,则椭圆离心率取值范围是     答案解析如图,当点位于椭圆上这个点时,为等腰三角形,在等腰中,则由椭圆定义知,因为三角形任意两边之和大于第三边,所以 ⇒ ⇒  ,但当 时,和为等边三角形,椭圆上与点重合与点重合,不符合题意,可见 ,所以 且 ,故选课标版理数椭圆椭圆定义平面内与两个定点距离和等于常数大于点轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆焦点,两焦点距离叫做椭圆焦距,符号表示知识梳理椭圆简单几何性质焦点在轴上焦点在轴上标准方程    图形焦点坐标对称性关于轴轴轴对称,关于原点中心对称顶点坐标范围长轴短轴长轴长为,短轴长为离心率  设是椭圆  上点,若是椭圆两个焦点,则等于 答案由椭圆定义知故选椭圆焦点在轴上,长轴长是短轴长倍,则等于   答案由 及题意知, , ,故选已知椭圆方程为,则此椭圆离心率为     答案⇒  ,   , , 故选已知是椭圆 上点,是椭圆两个焦点,且,则面积是答案 解析设则又  ,即, ,  已知椭圆中心在原点,焦点在轴上,离心率为 ,且过则椭圆方程为答案  解析由 可得,所以,故椭圆方程为  ,将,代入可得,故椭圆方程为  典例安徽分设,分别是椭圆 又,由  得 ,代入 得  ,又, ,典例题组求椭圆标准方程故椭圆方程为 求椭圆标准方程方法定义法根据题目条件判断是否满足椭圆定义,若满足,求出相应即可求得方程待定系数法首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于,方程组若焦点位置不确定,则要分类讨论有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为形式求满足下列各条件椭圆标准方程长轴长是短轴长倍,且经过点在轴上个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且焦距为椭圆对称轴是坐标轴,为坐标原点,是个焦点,是个顶点,椭圆长轴长是,且 椭圆过点且离心率  解析设椭圆标准方程为 或  由已知得,由于椭圆过点从而有  或  ,解得,或,故所求椭圆标准方程为  或  如图所示,为等腰直角三角形,为斜边中线高,且 故所求椭圆标准方程为   ,不是长轴端点,而是短轴端点又椭圆长轴长是又,  ,椭圆标准方程是  或  当椭圆焦点在轴上时  , ,从而,椭圆标准方程为  当椭圆焦点在轴上时  ,  ,椭圆标准方程为  所求椭圆标准义法根据题目条件判断是否满足椭圆定义,若满足,求出相应即可求得方程待定系数法首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于,方程组若焦点位置不确定,则要分类讨论有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为形式求满足下列各条件椭圆标准方程长轴长是短轴长倍,且经过点在轴上个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且焦距为椭圆对称轴是坐标轴,为坐标原点,是个焦点,是个顶点,椭圆长轴长是,且 椭圆过点且离心率  解析设椭圆标准方程为 或  由已知得,由于椭圆过点从而有  或  ,解得,或,故所求椭圆标准方程为  或  如图所示,为等腰直角三角形,为斜边中线高,且 故所求椭圆标准方程为   ,不是长轴端点,而是短轴端点又椭圆长轴长是又,  ,椭圆标准方程是  或  当椭圆焦点在轴上时  , ,从而,椭圆标准方程为  当椭圆焦点在轴上时  ,  ,椭圆标准方程为  所求椭圆标准方程为  或  典例课标Ⅱ分设,分别是椭圆  左,右焦点,是上点且与轴垂直直线与另个交点为若直线斜率为 ,求离心率若直线在轴上截距为,且,求,解析根据 及题设知 ,将代入,解得  或 舍去故离心率为 由题意,得原点为中点,轴,所以直线与轴交点,,椭圆几何性质是线段中点,故 ,即 由得设由题意知,则 即 代入方程,得   将及 代入得  解得故, ,求椭圆离心率方法定义法直接求出,值来解,通过已知条件列方程,解出,值解方程法由已知条件得出关于,二元齐次方程,然后转化为关于离心率元二次方程求解通过特殊值或