，解得所以从而„由知„数列前项和为，数列前项和为所以，数列前项和为考点二裂项相消法求和例山东卷已知等差数列公差为，前项和为，且成等比数列求数列通项公式令，求数列前项和听课记录因为，由题意得，解得，所以当为偶数时，„当为奇数时，„所以，为奇数为偶数或规律方法利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不定只剩下第项和最后项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面系数，使裂开两项之差和系数之积与原通项公式相等变式思考大同调研已知数列前项和与通项满足求数列通项公式设，„，„，求解当时当时又，所以，即数列是首项为，公比为等比数列，故由已知可得，所以„„，故，于是„„，所以考点三错位相减法求和例江西卷已知首项都是两个数列，，满足令，求数列通项公式若，求数列前项和听课记录因为，，所以，即所以数列是以首项，公差等差数列，故由知，于是数列前项和„,„，相减得„，所以规律方法用错位相减法求和时，应注意要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数情形在写出与表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下步准确写出表达式在应用错位相减法求和时，若等比数列公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解变式思考安徽卷数列满足证明数列是等差数列设，求数列前项和解证明由已知可得，即所以是以为首项，为公差等差数列由得，所以从而„，„得，„，所以拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高大题巧突破系列之四数列求和规范解答典例四川卷设等差数列公差为，点，在函数图象上若，点,在函数图象上，求数列前项和若，函数图象在点，处切线在轴上截距为，求数列前项和规范解答由已知，有解得所以，函数在，处切线方程为，它在轴上截距为由题意解得所以，从而，所以„，„和与通项满足求数列通项公式设，„，„，求解当时当时又，所以，即数列是首项为，公比为等比数列，故由已知可得，所以„„，故，于是„„，所以考点三错位相减法求和例江西卷已知首项都是两个数列，，满足令，求数列通项公式若，求数列前项和听课记录因为，，所以，即所以数列是以首项，公差等差数列，故由知，于是数列前项和„,„，相减得„，所以规律方法用错位相减法求和时，应注意要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数情形在写出与表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下步准确写出表达式在应用错位相减法求和时，若等比数列公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解变式思考安徽卷数列满足证明数列是等差数列设，求数列前项和解证明由已知可得，即所以是以为首项，为公差等差数列由得，所以从而„，„得，„，所以拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高大题巧突破系列之四数列求和规范解答典例四川卷设等差数列公差为，点，在函数图象上若，点,在函数图象上，求数列前项和若，函数图象在点，处切线在轴上截距为，求数列前项和规范解答由已知，有解得所以，函数在，处切线方程为，它在轴上截距为由题意解得所以，从而，所以„，„因此，„所以，名师点评在第问中，利用已知条件,在图象上，得到关于，方程，然后结合，在图象上，求出公差，再利用等差数列前项和公式求出数列前项和在第问中，充分利用已知条件求出切线方程，得到，然后利用，求出公差，从而得到再利用乘公比错位加减法求出对应训练设数列前项和为已知求值求数列通项公式证明对切正整数，有„解依题意又，所以当时，两式相减得，整理得，即，又，故数列是首项为，公差为等差数列，所以，所以当时，当时，当时，此时„„„综上，对切正整数，有„第五章数列第四节数列求和基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向熟练掌握等差等比数列前项和公式掌握非等差等比数列求和几种常见方法能在具体问题情境中识别数列等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应问题备考知考情数列求和问题般以数列基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式函数最值等问题综合以解答题为主，难度中等或稍难理教材夯基础厚积薄发基础回扣自主学习知识梳理知识点公式法求和等差数列前项和公式等比数列前项和公式，知识点二数列求和几种常用方法分组求和法个数列通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减裂项相消法把数列通项拆成两项之差，在求和时中间些项可以相互抵消，从而求得其和常见拆项公式有错位相减法如果个数列各项是由个等差数列和个等比数列对应项之积构成，那么这个数列前项和即可用此法来求，如等比数列前项和公式就是用此法推导倒序相加法如果个数列前项中首末两端等“距离”两项和相等或等于同个常数，那么求这个数列前项和可用倒序相加法，如等差数列前项和公式即是用此法推导并项求和法在个数列前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如类型，可采用两项合并求解对点自测知识点公式法求和已知是公比为等比数列，若，则„解析因为是公比为等比数列，且，所以，解得，所以，所以，即数列是首项为，公比为等比数列，所以„答案知识点二数列求和几种常用方法数列„„前项和值等于解析该数列通项公式为，则„„答案已知数列中，，其前项和为，则等于以上都不对解析，„答案„等于解析方法令„，则„，得，„，所以方法二取时代入各选项验证可知选答案数列前项和为答案解析方法„„„方法二„„„个研考点知规律通法悟道热点命题深度剖析问题探究问题求„之和时，只要把上式等号两边同时乘以即可根据错位相减法求得你认为该说法正确吗为什么不正确当，且时，可用错位相减法求解问题如果数列是周期为为大于正整数周期数列，那么你认为该说法正确吗正确问题如果数列是公差为等差数列，则与相等吗相等高频考点考点分组求和法例数列通项公式，其前项和为，则等于听课记录函数周期，可分四组求和„，„„，„，„„故答案规律方法分组求和解题策略数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列前项和数列求和变式思考北京卷已知是等差数列，满足数列满足且为等比数列求数列和通项公式求数列前项和解设等差数列公差为，由题意得所以„设等比数列公比为，由题意得，解得所以从而„由知„数列前项和为，数列前项和为所以，数列前项和为考点二裂项相消法求和例山东卷已知等差数列公差为，前项和为，且成等比数列求数列通项公式令，求数列前项和听课记录因为，由题意得，解得，所以当为偶数时，„当为奇数时，„所以，为奇数为偶数或规律，解得所以从而„由知„数列前项和为，数列前项和为所以，数列前项和为考点二裂项相消法求和例山东卷已知等差数列公差为，前项和为，且成等比数列求数列通项公式令，求数列前项和听课记录因为，由题意得，解得，所以当为偶数时，„当为奇数时，„所以，为奇数为偶数或规律方法利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不定只剩下第项和最后项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面系数，使裂开两项之差和系数之积与原通项公式相等变式思考大同调研已知数列前项和与通项满足求数列通项公式设，„，„，求解当时当时又，所以，即数列是首项为，公比为等比数列，故由已知可得，所以„„，故，于是„„，所以考点三错位相减法求和例江西卷已知首项都是两个数列，，满足令，求数列通项公式若，求数列前项和听课记录因为，，所以，即所以数列是以首项，公差等差数列，故由知，于是数列前项和„,„，相减得„，所以规律方法用错位相减法求和时，应注意要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数情形在写出与表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下步准确写出表达式在应用错位相减法求和时，若等比数列公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解变式思考安徽卷数列满足证明数列是等差数列设，求数列前项和解证明由已知可得，即所以是以为首项，为公差等差数列由得，所以从而„，„得，„，所以拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高大题巧突破系列之四数列求和规范解答典例四川卷设等差数列公差为，点，在函数图象上若，点,在函数图象上，求数列前项和若，函数图象在点，处切线在轴上截距为，求数列前项和规范解答由已知，有解得所以，函数在，处切线方程为，它在轴上截距为由题意解得所以，从而，所以„，„