平面所以是平面的法向量因为，所以坐标系，则，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，的中点，则⊥，又⊥，∩，所以⊥平面，因为⊂平面，所以平面⊥平面以为原点，所在直线分别为轴轴轴建立空间直角中，其边长为，为棱的中点，为对角线的中点求证平面⊥平面求异面直线与所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值解证明因为为，所以，所以⊥，⊥因为∩，所以⊥平面如图，在正方体因为所以所以异面直线与所成角的余弦值为证明因为求证⊥平面解以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，多面体中，上下两个底面和互相平行，且都是正方形，⊥底面，∥，求异面直线与所成角的余弦值已知是的中点，即，令，则，所以又，所以点到平面的距离为答案临沂模拟如图所示，在轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，所以，设平面的个法向量为，则所以即为所求答案正方体的棱长为，分别为的中点，则点到平面的距离为解析以为坐标原点，所在直线分别为轴轴，由得由，得，所以，因为异面直线所成角的正弦值为正，，，所以，设异面直线与所成的角为，所以析由题意，以为原点以边所在直线为轴以边所在直线为轴以边所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示设棱柱的高为，由得，所以肥市质量监测在直三棱柱中，若⊥，点为的中点，点为的中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值为解析肥市质量监测在直三棱柱中，若⊥，点为的中点，点为的中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值为解析由题意，以为原点以边所在直线为轴以边所在直线为轴以边所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示设棱柱的高为，由得，所以，，所以，设异面直线与所成的角为，所以，由得由，得，所以，因为异面直线所成角的正弦值为正，所以即为所求答案正方体的棱长为，分别为的中点，则点到平面的距离为解析以为坐标原点，所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，所以，设平面的个法向量为，则，即，令，则，所以又，所以点到平面的距离为答案临沂模拟如图所示，在多面体中，上下两个底面和互相平行，且都是正方形，⊥底面，∥，求异面直线与所成角的余弦值已知是的中点，求证⊥平面解以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为所以所以异面直线与所成角的余弦值为证明因为，所以，所以⊥，⊥因为∩，所以⊥平面如图，在正方体中，其边长为，为棱的中点，为对角线的中点求证平面⊥平面求异面直线与所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点，则⊥，又⊥，∩，所以⊥平面，因为⊂平面，所以平面⊥平面以为原点，所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，由知⊥，由知⊥，又∩⊂平面，所以⊥平面所以是平面的法向量因为，所以⊂平面，所以∥平面以为轴，过点作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系在中，由，及余弦定理，得，则，设，则，所以设平面的法向量，由，得令，可得所以直线与平面所成的角的正弦值为开封市质量监测如图，在四棱锥中，底面是菱形⊥平面点，分别为和的中点求证直线∥平面求与平面所成角的正弦值解证明作∥交于，连接因为点为的中点，所以所以，所以为平行四边形，所以∥，因为⊄平面，⊂平面，所以直线∥平面连接，因为，所以⊥如图所示，建立直角坐标系，则，，，所以，设平面的法向量为因为，所以取，则，所以平面的个法向量为因为，设向量与所成的角为，所以，所以与平面所成角的正弦值为九江市第次统考如图所示，在长方体中，分别是和的中点，且⊥平面求的值求二面角的余弦值解以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系设，则因为⊥，⊥，所以，即，所以设平面的个法向量为，则，因为所以所以所以由已知得为平面的个法向量，又，所以，又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为如图，在中，为的中点，⊥于，延长交于，将沿折起，使平面⊥平面，如图所示求证⊥平面求二面角的余弦值在线段上是否存在点使得∥平面若存在，请指明点的位置若不存在，请说明理由解证明平面⊥平面，交线为又在中，⊥于，⊂平面，所以⊥平面由结论⊥平面可得⊥由题意可知⊥，⊥如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系不妨设，则则，由⊥平面可知平面的个法向量设平面的法向量为，则，即令，则所以所以所以二面角的余弦值为设，其中∈，由于，所以，其中∈所以，令，得，解得∈所以在线段上存在点使得∥平面，且第部分专题四立体几何第讲空间向量与立体几何专题强化精练提能理卷设地球仪的球心为空间直角坐标系的原点，球面上两个点，的坐标分别为则解析选在正方体中分别为和的中点，则直线与所成角的余弦值为解析选以为原点，分别以所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系图略若棱长为，则所以，则直线与所成角的余弦值为长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为解析选建立坐标系如图，则所以，河南省第次统检测在正三棱柱中点在棱上，若，则与平面所成角的正切值为解析选取的中点，连接，如图，可得为与的夹角，所以，又因为⊥平面，所以所求角的正切值为在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为解析选以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为，则，所以，，设平面的个法向量为，则所以，所以因为平面的个法向量为，所以，即所成的锐二面角的余弦值为如图，三棱锥的棱长全相等，为的中点，则直线与所成角的余弦值为解析选设，则所以，正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是解析依题意，设，其中∈∈因此的取值范围是，答案，如图，矩形中，将沿对角线折起到的位置，使点在平面内的射影点恰好落在边上，则异面直线与所成角的大小为解析过作∥交于点，由题意知，⊥，⊥，⊥，故以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则所以，所以⊥，故异面直线与所成角的大小为答案合肥市质量监测在直三棱柱中，若⊥，点为的中点，点为的中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值为解析由题意，以为原点以边所在直线为轴以边所在直线为轴以边所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示设棱柱的高为，由得，所以，，所以，设异面直线与所成的角为，所以，由得由，得，所以，因为异面直线所成角的正弦值为正，所以即为所求答案正方体的棱长为，分别为的中点，则点到平面的距离为解析以为坐标原点，所在直线分别为轴轴轴建析由题意，以为原点以边所在直线为轴以边所在直线为轴以边所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示设棱柱的高为，由得，所以，由得由，得，所以，因为异面直线所成角的正弦值为正，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，所以，设平面的个法向量为，则多面体中，上下两个底面和互相平行，且都是正方形，⊥底面，∥，求异面直线与所成角的余弦值已知是的中点，因为所以所以异面直线与所成角的余弦值为证明因为中，其边长为，为棱的中点，为对角线的中点求证平面⊥平面求异面直线与所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值解证明因为为坐标系，则，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，⊂平面，所以∥平面以为轴，过点作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系在中，由，及余弦定理，得