1、线为，已知条渐近线为，得，即的最大值为已知双曲线的条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为求此双曲线的方程设为双曲线上点两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第二象限，若，求的面积解依题意得，解得故双曲线的方程为由题意知双曲线的渐近线方程为，设其中，由得点的坐标为，将点的坐标代入，整理得设，，则，从而又得直线与双曲线右支交于，两点，故，，即所以故的取值范围，点是双曲线上点，且，求，的值解由，得故双曲线的方程为设由，将代入渐近线方程得若双曲线的离心率等于，直线与双曲线的右支交于，两点求的取值范围若线的综合问题例四川过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则答案解析右焦点过与轴垂直的直线为，渐近线方程为双曲线的方程为，在中，即题型三直线与双曲则又与垂直，则有，即，即，渐近线斜率设共点若四边形为矩形，则的离。
2、不连续的单调区间不能用连结已知，函数，证明函数在，上是减函数，在，上是增函数证明方法又函数在，上为减函数思维升华确定函数单调性的方法定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法复合函数法，复合函数设，时，即，函数在，上递减当时，在，上单调递减当，则在，上的单调性如何解设二次函数的图象如图由图象可知，函数在，上是增函数命题点解析式含参函数的单调性例试讨论函数在，上的单调性解在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为，由题意知，当时当时，增区间为答案，，解析的增区间为，，在区间，上为增函数因为增区间为答案，，解析的增区间为，，在区间，上为增函数因为在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为，由题意知，当时当时二次函数的图象如图由图象可知，函数在，上是增函数命题点解析式含参函数的单调性例试讨。
3、与双曲线相切时，直线与双曲线仅有个交点组专项基础训练时间分钟广东已知双曲线的离心率，且其右焦点为则双曲线的方程为答案解析因为所求双曲线的右焦点为，且离心率为，所以，所以所求双曲线方程为设直线过双曲线的个焦点，且与的条对称轴垂直，与交于，两点，为的实轴长的倍，则的离心率为答案解析设双曲线的标准方程为，由于直线过双曲线的个焦点且与对称轴垂直，因此直线的方程为或，代入得故，依题意，江西改编过双曲线的右顶点作轴的垂线，与的条渐近线相交于点若以的右焦点为圆心半径为的圆经过，两点为坐标原点，则双曲线的方程为答案解析由得，由题意知右焦点到原点的距离为，，即而双曲线的方程为课标全国Ⅰ改编已知，是双曲线上的点是的两个焦点，若的长轴长短轴长焦距成等比数列，离心率为双曲线的实轴长虚轴长焦距也成等比数列，离心率为则答案解析由，得，由，得，北京已知双曲线的条渐近线为，则答案解析双曲线的渐近线为，已知条渐近线为，。
4、若，则此双曲线的离心率为山东过双曲线的右焦点作条与其渐近线平行的直线，交于点若点的横坐标为，则的离心率为答案解析如图为线段的中点，又把代入得不妨取，又双曲线右焦点的坐标为由题意，得双曲线的离心率为思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线中，离心率与双曲线的渐近线的斜率满足关系式求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围重庆改编设双曲线，的右焦点是，左，右顶点分别是过作的垂线与双曲线交于，两点，若⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是，在第二四象限的公共点若四边形为矩形，则的离心率是答案解析由题意知，双曲线的右焦点左，右顶点分别为易求则又与垂直，则有，即，即，渐近线斜率设双曲线的方程为，在中，即题型三直线与双曲线的综合问题例四川过双曲线的右焦。
5、题例四川过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则答案解析右焦点过与轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入渐近线方程得若双曲线的离心率等于，直线与双曲线的右支交于，两点求的取值范围若，点是双曲线上点，且，求，的值解由，得故双曲线的方程为设由得直线与双曲线右支交于，两点，故，，即所以故的取值范围是由得，整理得，或，又由已知得再由，得，双曲线的方程为设将代入，得由题意知，解得当时，与双曲线左支有两个交点由得，的中点的坐标为，设直线的方程为，即分由得分由题意，得，解得分当时，方程成为，这样可避免讨论和复杂的计算也可设为的渐近线方程是的渐近线方程是若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况直线与双曲线交于点时，不定相切，例如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于点，。
6、论函数在，上的单调性解设，时，即，函数在，上递减当时，在，上单调递减当，则在，上的单调性如何解设又函数在，上为减函数思维升华确定函数单调性的方法定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法复合函数法，复合函数单调性的规律是同增异减图象法，图象不连续的单调区间不能用连结已知，函数，证明函数在，上是减函数，在，上是增函数证明方法任意取，则当时，在，上为减函数当时，有，即，此时，函数在，上为增函数综上可知，函数在，上为减函数，在，上为增函数方法二，令，则，解得或，恒成立，试求实数的取值范围解当时，在，上为增函数，当时，在，内为增函数最小值为要使在，上恒成立，只需，即，所以，所以，若在，上的值域为则答案解析当时，函数为减函数，所以在处取得最大值，为当在，上单调递增，所以，，即解得题型三函数单调性的应用命题点比较，与另条渐近线交于点，。
7、心率是答案解析由题意知，双曲线的右焦点左，右顶点分别为易求别是过作的垂线与双曲线交于，两点，若⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是，在第二四象限的公量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围重庆改编设双曲线，的右焦点是，左，右顶点分中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线中，离心率与双曲线的渐近线的斜率满足关系式求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本代入得不妨取，又双曲线右焦点的坐标为由题意，得双曲线的离心率为思维升华双曲线的几何性质点的横坐标为，则的离心率为答案解析如图为线段的中点，又把，垂足为点，与另条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为山东过双曲线的右焦点作条与其渐近线平行的直线，交于点若线上的点，则由双曲线的定义知，故曲线的标准方程为即题型二双曲线的几何性质例过双曲线的个焦点作条渐近线的垂。
8、线近线方程为，可设该双曲线的标准方程为，已知该双曲线过点所以，即，故所求双曲线的标准方程为由题意知椭圆的焦点坐标为设曲设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为答案解析由双曲线渐定义法依定义得出距离之差的等量关系式，求出的值，由定点位置确定的值课标全国Ⅱ已知双曲线过点且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为定义法依定义得出距离之差的等量关系式，求出的值，由定点位置确定的值课标全国Ⅱ已知双曲线过点且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为答案解析由双曲线渐近线方程为，可设该双曲线的标准方程为，已知该双曲线过点所以，即，故所求双曲线的标准方程为由题意知椭圆的焦点坐标为设曲线上的点，则由双曲线的定义知，故曲线的标准方程为即题型二双曲线的几何性质例过双。
9、，与另条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为山东过双曲线的右焦点作条与其渐近线平行的直线，交于点若点的横坐标为，则的离心率为答案解析如图为线段的中点，又把代入得不妨取，又双曲线右焦点的坐标为由题意，得双曲线的离心率为思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线中，离心率与双曲线的渐近线的斜率满足关系式求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围重庆改编设双曲线，的右焦点是，左，右顶点分别是过作的垂线与双曲线交于，两点，若⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是，在第二四象限的公共点若四边形为矩形，则的离心率是答案解析由题意知，双曲线的右焦点左，右顶点分别为易求则又与垂直，则有，即，即，渐近线斜率设双曲线的方程为，在中，即题型三直线与双曲线的综合问。
10、但不是相切反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有个交点组专项基础训练时间分钟广东已知双曲线的离心率，且其右焦点为则双曲线的方程为答案解析因为所求双曲线的右焦点为，且离心率为，所以，所以所求双曲线方程为设直线过双曲线的个焦点，且与的条对称轴垂直，与交于，两点，为的实轴长的倍，则的离心率为答案解析设双曲线的标准方程为，由于直线过双曲线的个焦点且与对称轴垂直，因此直线的方程为或，代入得故，依题意，江西改编过双曲线的右顶点作轴的垂线，与的条渐近线相交于点若以的右焦点为圆心半径为的圆经过，两点为坐标原点，则双曲线的方程为答案解析由得，由题意知右焦点到原点的距离为，，即而双曲线的方程为课标全国Ⅰ改编已知，是双曲线上的点是的两个焦点，若的长轴长短轴长焦距成等比数列，离心率为双曲线的实轴长虚轴长焦距也成等比数列，离心率为则答案解析由，得，由，得，北京已知双曲线的条渐近线为，则答案解析双曲线的渐近。
11、点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则答案解析右焦点过与轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入渐近线方程得若双曲线的离心率等于，直线与双曲线的右支交于，两点求的取值范围若，点是双曲线上点，且，求，的值解由，得故双曲线的方程为设由得直线与双曲线右支交于，两点，故，，即所以故的取值范围是由得，整理得，或，又由已知得再由，得，双曲线的方程为设将代入，得由题意知，解得当时，与双曲线左支有两个交点由得，的中点的坐标为，设直线的方程为，即分由得分由题意，得，解得分当时，方程成为，这样可避免讨论和复杂的计算也可设为的渐近线方程是的渐近线方程是若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况直线与双曲线交于点时，不定相切，例如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于点，但不是相切反之，当直线。
12、曲线的个焦点作条渐近线的垂线，垂足为点即，，解得，答案解析当时在定义域上是单调递增的，故在，上单调递增当时，二次函数的对称轴为，因为在，上为增函数，且，当，时即命题点解不等式例已知函数为上的减函数，则满足，，即成立，那么的取值范围是性的应用命题点比较大小例已知函数，若，，则，判断大小关系答案解析函数在函数为减函数，所以在处取得最大值，为当在，上单调递增，所以，，即解得题型三函数单调使在，上恒成立，只需，即，所以，所以，若在，上的值域为则答案解析当时数的取值范围解当时，在，上为增函数，当时，在，内为增函数最小值为要上为增函数综上可知，函数在，上为减函数，在，上为增函数方法二，令，则，解得或，恒成立，试求实，在，上为减函数当时，有，即，此时，函数在，任意取，则当时，单调性的规律是同增异减图象法，图象。
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