化为肯定形式，可作为条件进行推理，此时应用反证法很方便已知，求证都大于反证法的综合应用分析证明假设不成立，则分两种，所以因为当时或，与矛盾，所以不是等比数列点评当结论为否定形式时，通过反设，转设，的公比分别为，因为，所以设，是公比不相等的两个等比数列证明数列不是等比数列证明假设为等比数列，则当时，所以其中，为两个正整数，由消去，得因为为有理数，而为无理数，所以推出矛盾，故假设错误所以不能为同等差数列的三项所以平面底面圆这显然不成立，所以假设不成立，即与平面不垂直反证法在数列中的应用证明不能为同等差数列的三项证明假设是等差数列的三项，且这等差数列的公差为，则比较具体，通过反设，转与平面不垂直证明假设⊥平面，连接因为直线在平面内，所以⊥又因为⊥底面圆，所以⊥又因为∩，所以⊥面实根相矛盾若方程变为，方程根为这与方程有两个非零实数根相矛盾综上所述，可知点评结论中出现“不”“不是”“不存在”“不等于”等词语的命题，其反面若方程变为，则是方程的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾若，，方程变为，但，此时方程无解，与有两个不相等的非零”求证当有两个不相等的非零实数根时，分析的否定形式为，包括，，三种情况，要注意分类讨论反证法证明“否定性”命题证明假设证题步骤用反证法证明命题“若，则且”时，应假设为答案或解析对“且”的否定应为“或”，所以“且”的否定应为“或，这与三角形内角和为矛盾，故假设错误所以个三角形不能有两个直角假设中有两个直角，不妨设，上述步骤的正确顺序为答案解析考查反证法的数假设至多有个偶数假设至多有两个是偶数答案解析“至少有个”的对立面是“个都没有”反证法证明“个三角形不能有两个直角”有三个步骤个且非或非用反证法证明命题“若整系数元二次方程有有理根，那么中至少有个是偶数”时，下列假设中正确的是假设都是偶数假设都不是偶论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有个个也没有对所有成立存在个不成立至多有个至少有两个对任意不成立存在个成立至少有个至多有个或非且非至多有个至少有”等形式出现的命题结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题些基本命题定理用反证法证明不等式，常用的否定形式有的反面为“”的反面为“及”些常见的“结型与已知条件矛盾与已知的公理定义定理公式矛盾与反设矛盾自相矛盾适宜用反证法证明的数学命题结论本身是以否定形式出现的类命题关于唯性存在性的命题结论是以“至多”“至少”型与已知条件矛盾与已知的公理定义定理公式矛盾与反设矛盾自相矛盾适宜用反证法证明的数学命题结论本身是以否定形式出现的类命题关于唯性存在性的命题结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题些基本命题定理用反证法证明不等式，常用的否定形式有的反面为“”的反面为“及”些常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有个个也没有对所有成立存在个不成立至多有个至少有两个对任意不成立存在个成立至少有个至多有个或非且非至多有个至少有个且非或非用反证法证明命题“若整系数元二次方程有有理根，那么中至少有个是偶数”时，下列假设中正确的是假设都是偶数假设都不是偶数假设至多有个偶数假设至多有两个是偶数答案解析“至少有个”的对立面是“个都没有”反证法证明“个三角形不能有两个直角”有三个步骤，这与三角形内角和为矛盾，故假设错误所以个三角形不能有两个直角假设中有两个直角，不妨设，上述步骤的正确顺序为答案解析考查反证法的证题步骤用反证法证明命题“若，则且”时，应假设为答案或解析对“且”的否定应为“或”，所以“且”的否定应为“或”求证当有两个不相等的非零实数根时，分析的否定形式为，包括，，三种情况，要注意分类讨论反证法证明“否定性”命题证明假设若方程变为，则是方程的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾若，，方程变为，但，此时方程无解，与有两个不相等的非零实根相矛盾若方程变为，方程根为这与方程有两个非零实数根相矛盾综上所述，可知点评结论中出现“不”“不是”“不存在”“不等于”等词语的命题，其反面比较具体，通过反设，转与平面不垂直证明假设⊥平面，连接因为直线在平面内，所以⊥又因为⊥底面圆，所以⊥又因为∩，所以⊥面所以平面底面圆这显然不成立，所以假设不成立，即与平面不垂直反证法在数列中的应用证明不能为同等差数列的三项证明假设是等差数列的三项，且这等差数列的公差为，则其中，为两个正整数，由消去，得因为为有理数，而为无理数，所以推出矛盾，故假设错误所以不能为同等差数列的三项设，是公比不相等的两个等比数列证明数列不是等比数列证明假设为等比数列，则当时，所以设，的公比分别为，因为，所以，所以因为当时或，与矛盾，所以不是等比数列点评当结论为否定形式时，通过反设，转化为肯定形式，可作为条件进行推理，此时应用反证法很方便已知，求证都大于反证法的综合应用分析证明假设不成立，则分两种情况证明当，矛盾，由以上分析可知，假设不成立因此同理可得综上都大于点评分类讨论的关键是要全面，考虑周到，不能遗漏比如，本题“”的反面是，即有两种情况“”或，分类讨论时，不能遗漏其中任何种情况已知是整数，是偶数，求证也是偶数分析本题直接证明不易找思路，我们用间接证明的方法反证法证明假设不是偶数，则为奇数设为整数，则是偶数，为奇数，即为奇数，与已知矛盾定是偶数用反证法证明若，则误解假设不大于，即，所以⇒，即，这与已知矛盾所以假设不成立，原命题正确点评否定结论时，没有全面否定正解假设不大于，即，所以矛盾，所以已知实数满足不等式，用反证法证明关于的方程无实根误解假设方程有实根，由已知实数满足不等式，解得，由方程得其判别式因为，所以，所以即关于的方程无实根正解假设方程有实根，则该方程的判别式，解得或而由已知实数满足不等式，解得，二者矛盾，故假设错误所以关于的方程无实根点评利用反证法进行证题时，首先要对所要证明的结论作出否定性的假设，并以此为条件进行正确的推理，导出矛盾，从而证明原命题成立即利用反证法证题时必须严格按照“否定推理否定”的步骤进行错解在证明的过程中并没有用到假设的结论，因而证明方法不是反证法成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修推理与证明第章反证法第章课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习了解间接证明的种基本方法反证法了解反证法的思考过程特点本节重点反证法概念的理解以及反证法的解题步骤本节难点应用反证法解决问题间接证明是不同于直接证明的又类证明方法，不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法就是种常用的间接证明方法间接证明反证法概念假定命题结论的在这个前提下，若推出的结果与矛盾，或与命题中的相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定不可能成立，由此断定命题的结论成立这样的证明方法叫作反证法有时也叫归谬法反证法反面成立定义公理定理已知条件命题结论的反面形式由证明⇒转向证明⇒⇒„⇒，与假设或与个真命题矛盾为假，推出为真反证法的证题步骤包括以下三个步骤作出否定结论的假设反设假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真逐步推理，导出矛盾归谬从假设和已知条件出发，经过系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果否定假设，肯定结论存真由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立用反证法证明问题的本质反证法是种间接证法，它是先提出个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的种方法反证法可以分为归谬反证法结论的反面只有种与穷举反证法结论的反面不只种用反证法证明个命题的步骤，大体上分为反设归谬存真也就是说，反证法是由证明⇒转向证明⇒⇒„⇒，与假设或与个真命题矛盾为假，推出为真的方法从逻辑角度看，命题“若则”的否定是“若则”由此进行推理，如果发生矛盾，那么“若则”为假，因此可知“若则”为真可以看出，反证法与证逆否命题是不同的由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木推理必须严谨导出的矛盾有如下几种类型与已知条件矛盾与已知的公理定义定理公式矛盾与反设矛盾自相矛盾适宜用反证法证明的数学命题结论本身是以否定形式出现的类命题关于唯性存在性的命题结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题些基本命题定理用反证法证明不等式，常用的否定形式有的反面为“”的反面为“及”些常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有个个也没有对所有成立存在个不成立至多有个至少有两个对任意不成立存在个成立至少有个至多有个或非且非至多有个至少有个且非或非用反证法证明命题“若整系数元二次方程有有理根，那么中至少有个是偶数”时，下列假设中正确的是假设都是偶数假设都不是偶数假设至多有个偶数假设至多有两个是偶数答案解析“至少有个”的对立面是“个都没有”反证法证明“个三角形不能有两个直角”有三个步骤”等形式出现的命题结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题些基本命题定理用反证法证明不等式，常用的否定形式有的反面为“”的反面为“及”些常见的“结个且非或非用反证法证明命题“若整系数元二次方程有有理根，那么中至少有个是偶数”时，下列假设中正确的是假设都是偶数假设都不是偶，这与三角形内角和为矛盾，故假设错误所以个三角形不能有两个直角假设中有两个直角，不妨设，上述步骤的正确顺序为答案解析考查反证法的”求证当有两个不相等的非零实数根时，分析的否定形式为，包括，，三种情况，要注意分类讨论反证法证明“否定性”命题证明假设实根相矛盾若方程变为，方程根为这与方程有两个非零实数根相矛盾综上所述，可知点评结论中出现“不”“不是”“不存在”“不等于”等词语的命题，其反面所以平面底面圆这显然不成立，所以假设不成立，即与平面不垂直反证法在数列中的应用证明不能为同等差数列的三项证明假设是等差数列的三项，且这等差数列的公差为，则设，是公比不相等的两个等比数列证明数列不是等比数列证明假设为等比数列，则当时，所以，所以因为当时或，与矛盾，所以不是等比数列点评当结论为否定形式时，通过反设，转