1、的垂线斜线，是在平面内的射影，，且，求证分析用向量来证明两直线垂直，只需证明两则,已知如图,分别是平面的垂线斜线，是在平面内的射影，，且，求证分析用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！例在平面内的条直线，如果和这个平面的条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理已知如图,分别是平面的垂线斜线，是在平面内的射影，，且，求证例在平面内的条直线，如果和这个平面的条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理同时取向量的方向向量证明取直线,且又因为所以，分析要证明条直线与个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线。

2、⊥,⊥,求证⊥,,,即,即垂直于平面内任直线解在内作不与,重合的任直线,在,上取非零向量因与相交,故向量,不平行,由共面向量条件,存在唯实数,使,例已知直线,是平面内的两条相交直线,如果⊥,⊥,求证⊥练习巩固设,,是任意的非零空间向量,且相互不共线,则不与垂直中,真命题是已知向量,满足,则如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆课本第页第题已知线段在平面内,⊥,线段⊥,如果,求间的距离第题第题法发现。

3、又因为所以，分析要证明条直线与个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意条直线都垂直例直线与平面垂直的判定定理已知直线,是平面内的两条相交直线,如果⊥,⊥,求证⊥,,,即,即垂直于平面内任直线解在内作不与,重合的任直线,在,上取非零向量因与相交,故向量,不平行,由共面向量条件,存在唯实数两直线的方向向量的数量积为零即可！例在平面内的条直线，如果和这个平面的条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理已知如图,分别是平面的垂线斜线，是在平面内的射取直线,且又因为所以，分析要证明条直线。

4、,,则角叫做向量与的夹角,记作,范围,,时,与同向,时,与反向如果,,则称与垂直,记为起点相同两个空间向量的数量积定义注两个向量的数量积是数量，而不是向量规定零向量与任意向量的数量积等于零已知空间两个非零向量,则,叫做的数量积,记作即,类比平面向量,你能说出的几何意义吗显然,对于非零向量,是单位向量有下列性质,也就是说两个空间向量数量积的性质注性质是证明两向量垂直的依据性质实现了向量与向量模之间的转换空间向量数量积满足的运算律交换律分配律注意数量积不满足结合律即。

5、入求得已知向量,满足,则法二由疆课本第页第题已知线段在平面内,⊥,线段⊥,如果,求间的距离第题第题法发现,则如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值奎屯王新敞新不与垂直中,真命题是已知向量,满足面内的两条相交直线,如果⊥,⊥,求证⊥练习巩固设,,是任意的非零空间向量,且相互不共线,则直线解在内作不与,重合的任直线,在,上取非零向量因与相交,故向量,不平行,由共面向量条件,存在唯实数,使,例已知直线,是平,,。

6、代入求得已知向量,满足,则法二由代入求得得法三数形结合法,发现形的特殊性妙!小结空间向量数量积的定义性质。空间向量数量积的运算律向量法证明线线线面垂直空间向量的数量积运算已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积或内积，记作规定零向量与任向量的数量积为。回顾平面向量数量积定义数量积的几何意义已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积或内积，记作规定零向量与任向量的数量积为。回顾平面向量数量积定义类似地，空间向量是否也有相应的数量积运算呢两个空间向量的夹角的定义如图,已知两个非零向量,在空间任取点,作。

7、与平面内的任意条直线都垂直例直线与平面垂直的判定定理已知直线,是平面内的两条相交直线,如果⊥,⊥,求证⊥,,,即,即垂直于平面内任直线解在内作不与,重合的任直线,在,上取非零向量因与相交,故向量,不平行,由共面向量条件,存在唯实数,使,例已知直线,是平面内的两条相交直线,如果⊥,⊥,求证⊥练习巩固设,,是任意的非零空间向量,且相互不共线,则不与垂直中,真命题是已知向量,满足,则如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆课本第页第题已知线段在平面内,。

8、⊥,线段⊥,如果,求间的距离第题第题法发现代入求得已知向量,满足,则法二由代入求得得也就是说两个空间向量数量积的性质注性质是证明两向量垂直的依据性质实现了向量与向量模之间的转换空间向量数量积满足的运算律交换律分配律注意数量积不满足结合律即向量有加减乘运算，但向量不能做除法数乘结合律练习已知,则与的夹角大小为判断真假若,。

9、图,分别是平面的垂线斜线，是在平面内的射影，，且，求证分析用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！例在平面内已知,则与的夹角大小为判断真假若,则,已知如配律注意数量积不满足结合律即向量有加减乘运算，但向量不能做除法数乘结合律练习量垂直的依据性质实现了向量与向量模之间的转换空间向量数量积满足的运算律交换律分代入求得得也就是说两个空间向量数量积的性质注性质是证明两向代。

10、,即,即垂直于平面内任与个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意条直线都垂直例直线与平面垂直的判定定理已知直线,是平面内的两条相交直线,如果⊥,⊥,求证⊥取直线,且又因为所以，分析要证明条直线影，，且，求证例在平面内的条直线，如果和这个平面的条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理同时取向量的方向向量证明两直线的方向向量的数量积为零即可！例在平面内的条直线，如果和这个平面的条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理已知如图,分别是平面的垂线斜线，是在平面内的射则,已知如图,分别是平面。

11、向量有加减乘运算，但向量不能做除法数乘结合律练习已知,则与的夹角大小为判断真假若,则,已知如图,分别是平面的垂线斜线，是在平面内的射影，，且，求证分析用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！例在平面内的条直线，如果和这个平面的条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理已知如图,分别是平面的垂线斜线，是在平面内的射影，，且，求证例在平面内的条直线，如果和这个平面的条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理同时取向量的方向向量证明取直线,且。

12、则,已知如图,分别是平面的垂线斜线，是在平面内的射影，，且，求证分析用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！例在平面内的条直线，如果和这个平面的条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理已知如图,分别是平面的垂线斜线，是在平面内的射影，，且，求证例在平面内的条直线，如果和这个平面的条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理同时取向量的方向向量证明取直线,且又因为所以，分析要证明条直线与个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意条直线都垂直例直线与平面垂直的判定定理已知直线,是平面内的两条相交直线,如果。

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