应用典例方程的解所在的区间是设，则，在零点存在性定理是零点存在的个充分条件，而不是必要条件判断零点个数还要根据函数的单调性对称性或结合函数图象解析当时，由，解得已知函数，则函数的零点为当时，由，解得，又因为，所以此时方程无解综上函数的零点只有方程的解的个数是解析数形结合法而的图象如图，的图象与的图象总有两个交点若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是解析方程有两个不相等的实数根或，，函数在区间,上的零点个数为解析由，得或又所以,由于，而在的所数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围综上，的取值范围是，方法二分离变量法由方程，解得，设，解析思维升华题型三函华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围若方程有个正实根和个负实根负实根，不合题意，舍去，则，解得解析思维升华题型三函若关于的方程有实根，求实数的取值范围若方程有两个正实根则解得解析思维升根，求实数的取值范围解方法换元法设，则原方程可变为，原方程有实根，即方程有正根令解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例，故题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实，即，跟踪训练已知的个零点比大，个零点比小，求实数的取值范围方法二函数图象大致如图，则有，即零点比小，求实数的取值范围解方法设方程的两根分别为，则，即，由根与系数的关系，得系利用二次函数的图象列不等式组例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围解析思维升华跟踪训练已知的个零点比大，个解得所以实数的取值范围是，解析思维升华解决二次函数的零点问题可利用元二次方程的求根公式可用元二次方程的判别式及根与系数的关不同的零点，求实数的取值范围则，解析思维升华例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围即例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围解函数在区间,上有两个不同的零点，例若函数在区间,上有两个与系数的关系利用二次函数的图象列不等式组题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解析思维升华数，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解决二次函数的零点问题可利用元二次方程的求根公式可用元二次方程的判别式及根，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解得或，所以不等式的解集为或题型二二次函数的零点问题例已知函的解集为求不等式的解集解因为不等式的解集为所以，于是由得题型二二次函数的零点问题例已知函数数的零点个数是观察图象可以发现它们有个交点，即函数有个零点解析思维升华题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式意知，是周期为的偶函数在同坐标系内作出函数及的图象，如下跟踪训练若定义在上的偶函数满足，且当,时则函数意知，是周期为的偶函数在同坐标系内作出函数及的图象，如下跟踪训练若定义在上的偶函数满足，且当,时则函数的零点个数是观察图象可以发现它们有个交点，即函数有个零点解析思维升华题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解因为不等式的解集为所以，于是由得题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解得或，所以不等式的解集为或题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解决二次函数的零点问题可利用元二次方程的求根公式可用元二次方程的判别式及根与系数的关系利用二次函数的图象列不等式组题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解析思维升华例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围解函数在区间,上有两个不同的零点，例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围则，解析思维升华例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围即解得所以实数的取值范围是，解析思维升华解决二次函数的零点问题可利用元二次方程的求根公式可用元二次方程的判别式及根与系数的关系利用二次函数的图象列不等式组例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围解析思维升华跟踪训练已知的个零点比大，个零点比小，求实数的取值范围解方法设方程的两根分别为，则，即，由根与系数的关系，得，即，跟踪训练已知的个零点比大，个零点比小，求实数的取值范围方法二函数图象大致如图，则有，即，故题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围解方法换元法设，则原方程可变为，原方程有实根，即方程有正根令解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围若方程有两个正实根则解得解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围若方程有个正实根和个负实根负实根，不合题意，舍去，则，解得解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围综上，的取值范围是，方法二分离变量法由方程，解得，设，解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围则，其中，由基本不等式，得，解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围当且仅当时取等号，故解析思维升华对于“有解”型问题，可以通过求函数的值域来解决，解的个数也可化为函数的图象和直线交点的个数题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围解析思维升华跟踪训练江苏已知是定义在上且周期为的函数，当,时，若函数在区间,上有个零点互不相同，则实数的取值范围是解析作出函数在,上的图象观察图象可得，思维点拨解析温馨提醒思想与方法系列数形结合思想在函数零点问题中的应用典例方程的解所在的区间是利用零点存在性定理思想与方法系列数形结合思想在函数零点问题中的应用典例方程的解所在的区间是思维点拨解析温馨提醒思想与方法系列数形结合思想在函数零点问题中的应用典例方程的解所在的区间是设，则，在零点存在性定理是零点存在的个充分条件，而不是必要条件判断零点个数还要根据函数的单调性对称性或结合函数图象解析当时，由，解得已知函数，则函数的零点为当时，由，解得，又因为，所以此时方程无解综上函数的零点只有方程的解的个数是解析数形结合法而的图象如图，的图象与的图象总有两个交点若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是解析方程有两个不相等的实数根或，，函数在区间,上的零点个数为解析由，得或又所以,由于，而在的所有取值中，只有满足在,内，故零点个数为已知三个函数的零点依次为，则的大小关系为解析方法由于，且为上的增函数故的零点的零点，且为，上的增函数，的零点因此方法二由得由得作出函数，由图象易知而，故和的图象如图答案若函数的两个零点是和，则不等式的解集是解析的两个零点是是方程的两根，由根与系数的关系知不等式，即⇔，解集为答案函数的零点位于区间，内，则解析由于，所以，所以增函数的零点位于区间,内，故已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是解析画出的图象，如图由于函数有个零点，结合图象得，即已知函数证明存在使证明令又函数在，上连续，存在使即关于的二次方程在区间,上有解，求实数的取值范围解方法设，若在区间,上有解，则应有，又若在区间,上有两解，则，或，由可知的取值范围是，方法二显然不是方程的解时，方程可变形为，又在,上单调递减上单调递增，在,的取值范围是，，故的取值范围是重庆改编已知函数，，且在,内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是解析作出函数的图象如图所示，其中，因为直线恒过定点故当直线在位置时可知当直线在轴和之间运动时两图象有两个不同的交点直线可与重合但不能与轴重合，当直线过点时当直线与曲线相切时，联立，，得，由，解得，此时，有两个不同的零点可知当在切线和之间运动时两图象有两个不同的交点直线可与重合但不能与切线重合，此时，有两个不同的零点综上，的取值范围为，，答案，，若直角坐标平面内的两点，满足条件，都在函数的图象上，关于原点对称则称点对，是函数的对“友好点对”点对，与，看作同对“友好点对”已知函数则此函数的“友好点对”有对，解析函数的图象及函数的图象关于原点对称的图象如图所示，则，两点关于原点的对称点定在函数的图象上，故函数的“友好点对”有对答案若方程有两个不等的实根，则的取值范围是函数的图象是圆心在原点，半径为的圆在轴上方的半圆包括端点，解析作出函数和的图象如图所示，函数的图象是过定点,的直线，因为点则直线是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得得由图可知当时，两函数图象有两个交点，即原方程有两个不等实根所以答案，已知，，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是解析函数有两个零点，即有两个解，即与的图象有两个交点分和或时，没有交点，故当时满足题意答案，已知是正实数，函数如果函数在区间,上有零点，求的取值范围解的对称轴为当，即时，须使，，即的解集为∅当时，须使，，即解得，的取值范围是，已知函数若有零点，求的取值范围解方法，等号成立的条件是，故的值域是，，因而只需，则就有零点方法二作出的大致图象如图可知若使有零点，则只需确定的取值范围，使得有两个相异实根解若有两个相异实根，即与的图象有两个不同的交点，作出的大致图象如图其图象的对称轴为，开口向下，最大值为故当，即时，与有两个交点，即有两个相异实根的取值范围是，函数与方程数学苏理第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分函数的零点函数零点的定义对于函数，把使的实数叫做函数的零点几个等价关系方程有实数根⇔函数的图象与有交点⇔函数有轴零点函数零点的判定零点存在性定理如果函数在区间，上的图象是连续不断的条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根，二次函数的图象与零点的关系的图象与轴的交点无交点零点个数二分法对于在区间，上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近