过两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率解析直线的方程为，由点到直线的距离公式，且，得到原点，到直线的距离，可得，即，于是得，即，栏目链接解得或则有的关系式，再消去转化成离心率的方程求解，或消去转化成含的方程，求出后利用求离心率求离心率的范围般是根据条件建立的不等式，通过解不等式得或的范围，再求，舍去又为双曲线的离心率，即所求双曲线的离心率栏目链接规律方法求双曲线离心率的常见方法是依据条件求出再计算二是先依据条件建立参数，的距离公式，且，得到原点，到直线的距离，可得，即，于是得，即，栏目链接解得或则有，型三求双曲线的离心率栏目链接例设双曲线的半焦距为，直线过两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率解析直线的方程为，由点到直线的方程为椭圆的焦点为所以双曲线的焦距为，实轴在轴上，设实轴长为，则有，得所以双曲线方程为答案题与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为栏目链接解析由题意知所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以，还可以将方程设为，可避免讨论焦点的位置栏目链接►变式训练北京卷设双曲线的两个焦点为个顶点式则的方程为，过焦点与渐近线垂直的直线为用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论为了避免讨论，也可设双曲线方程为若已知双曲线的渐近线方程的个焦点作条渐近线的垂线，垂足为点，与另条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为栏目链接解析因为，所以是的中点，设，成含的方程，求出后利用求离心率求离心率的范围般是根据条件建立的不等式，通过解不等式得或的范围，再求得离心率的范围栏目链接►变式训练过双曲线即所求双曲线的离心率栏目链接规律方法求双曲线离心率的常见方法是依据条件求出再计算二是先依据条件建立参数的关系式，再消去转化成离心率的方程求解，或消去转化，可得，即，于是得，即，栏目链接解得或则有舍去又为双曲线的离心率，的半焦距为，直线过两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率解析直线的方程为，由点到直线的距离公式，且，得到原点，到直线的距离曲线的焦距为，实轴在轴上，设实轴长为，则有，得所以双曲线方程为答案题型三求双曲线的离心率栏目链接例设双曲线双曲线方程为栏目链接解析由题意知所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以的方程为椭圆的焦点为所以双免讨论焦点的位置栏目链接►变式训练北京卷设双曲线的两个焦点为个顶点式则的方程为与椭圆有公共焦点，且离心率为的的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论为了避免讨论，也可设双曲线方程为若已知双曲线的渐近线方程，还可以将方程设为，可避免的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论为了避免讨论，也可设双曲线方程为若已知双曲线的渐近线方程，还可以将方程设为，可避免讨论焦点的位置栏目链接►变式训练北京卷设双曲线的两个焦点为个顶点式则的方程为与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为栏目链接解析由题意知所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以的方程为椭圆的焦点为所以双曲线的焦距为，实轴在轴上，设实轴长为，则有，得所以双曲线方程为答案题型三求双曲线的离心率栏目链接例设双曲线的半焦距为，直线过两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率解析直线的方程为，由点到直线的距离公式，且，得到原点，到直线的距离，可得，即，于是得，即，栏目链接解得或则有舍去又为双曲线的离心率，即所求双曲线的离心率栏目链接规律方法求双曲线离心率的常见方法是依据条件求出再计算二是先依据条件建立参数的关系式，再消去转化成离心率的方程求解，或消去转化成含的方程，求出后利用求离心率求离心率的范围般是根据条件建立的不等式，通过解不等式得或的范围，再求得离心率的范围栏目链接►变式训练过双曲线的个焦点作条渐近线的垂线，垂足为点，与另条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为栏目链接解析因为，所以是的中点，设过焦点与渐近线垂直的直线为用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论为了避免讨论，也可设双曲线方程为若已知双曲线的渐近线方程，还可以将方程设为，可避免讨论焦点的位置栏目链接►变式训练北京卷设双曲线的两个焦点为个顶点式则的方程为与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为栏目链接解析由题意知所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以的方程为椭圆的焦点为所以双曲线的焦距为，实轴在轴上，设实轴长为，则有，得所以双曲线方程为答案题型三求双曲线的离心率栏目链接例设双曲线的半焦距为，直线过两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率解析直线的方程为，由点到直线的距离公式，且，得到原点，到直线的距离，可得，即，于是得，即，栏目链接解得或则有舍去又为双曲线的离心率，即所求双曲线的离心率栏目链接规律方法求双曲线离心率的常见方法是依据条件求出再计算二是先依据条件建立参数的关系式，再消去转化成离心率的方程求解，或消去转化成含的方程，求出后利用求离心率求离心率的范围般是根据条件建立的不等式，通过解不等式得或的范围，再求得离心率的范围栏目链接►变式训练过双曲线的个焦点作条渐近线的垂线，垂足为点，与另条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为栏目链接解析因为，所以是的中点，设过焦点与渐近线垂直的直线为，故点的横坐标为，直线与的交点的横坐标为，由中点公式得，即，解得答案栏目链接析疑难提能力栏目链接典例中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的条渐近线是，则双曲线的离心率为解析当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，渐近线为，所以得，即，所以，解得当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，渐近线为，所以得，即，所以，解得所以双曲线的离心率为或栏目链接答案或易错剖析因为渐近线确定，而双曲线不定，所以，双曲线的焦点既可以在轴上也可以在轴上，本题要分两种情况讨论双曲线的简单几何性质栏目链接掌握双曲线的简单的几何性质了解双曲线的渐近线及渐近线的概念，会利用几何性质求双曲线的标准方程栏目链接研题型学习法题型由双曲线的标准方程研究其几何性质栏目链接例求双曲线，的实半轴长虚半轴长焦点坐标离心率顶点坐标和渐近线方程解析把方程化为标准方程，由此可知，实半轴长，虚半轴长焦点坐标是离心率栏目链接顶点坐标为，渐近线方程为规律方法已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程，弄清方程中的，对应的值，再利用得到，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质栏目链接►变式训练已知双曲线的右焦点是则该双曲线的渐近线方程为答案题型二由双曲线的几何性质求标准方程栏目链接例求适合下列条件的双曲线的标准方程虚轴长为，离心率为，焦点在轴上求与双曲线有公共渐近线，且过点，的双曲线方程解析设双曲线的标准方程为由题设知且所求的双曲线标准方程为栏目链接设与双曲线有公共渐进线的双曲线方程为将点，代入得所求的双曲线标准方程为规律方法由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论为了避免讨论，也可设双曲线方程为若已知双曲线的渐近线方程，还可以将方程设为，可避免讨论焦点的位置栏目链接►变式训练北京卷设双曲线的两个焦点为个顶点式则的方程为与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为栏目链接解析由题意知所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以的方程为椭圆的焦点为所以双曲线的焦距为，实轴在轴上，设实轴长为，则有，得所以双曲线方程为答案题型三求双曲线的离心率栏目链接例设双曲线的半焦距为，直线过两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率解析直线的方程为，由点到直线的距离公式，且，得到原点，到直线的距离，可得，即，于是得，即，栏目链接解得或则有，免讨论焦点的位置栏目链接►变式训练北京卷设双曲线的两个焦点为个顶点式则的方程为与椭圆有公共焦点，且离心率为的曲线的焦距为，实轴在轴上，设实轴长为，则有，得所以双曲线方程为答案题型三求双曲线的离心率栏目链接例设双曲线，可得，即，于是得，即，栏目链接解得或则有舍去又为双曲线的离心率，成含的方程，求出后利用求离心率求离心率的范围般是根据条件建立的不等式，通过解不等式得或的范围，再求得离心率的范围栏目链接►变式训练过双曲线，过焦点与渐近线垂直的直线为用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论为了避免讨论，也可设双曲线方程为若已知双曲线的渐近线方程与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为栏目链接解析由题意知所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以型三求双曲线的离心率栏目链接例设双曲线的半焦距为，直线过两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率解析直线的方程为，由点到直线，舍去又为双曲线的离心率，即所求双曲线的离心率栏目链接规律方法求双曲线离心率的常见方法是依据条件求出再计算二是先依据条件建立参数，过两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率解析直线的方程为，由点到直线的距离公式，且，得到原点，到直线的距离，可得，即，于是得，即，栏目链接解得或则有，