立空间直角坐标系，则于是，故⊥，⊥，即⊥，⊥，又∩，且⊂平面，⊂平面故直线⊥平面规律方法利用向量法证明线面垂直，有两种方法证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量都垂直栏目链接►变式训练如图所示，在正方体中分别是，的中点求证⊥平面栏目链接证明方法设，则栏目链接设平面的法向量为为的中点，求证平面⊥平面证明由题意得两两垂直，以为原点，以直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则面规律方法证明面面垂直通常有两种方法，是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直线线垂直去证明二是证明两个平面的法向量互相垂直栏目链接►变式训练在直三棱柱中，⊥令，得即显然是平面的个法向量又，所以⊥，即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，所以平面⊥平方法，建立空间直角坐标系，则所以，设平面的法向量是，则有⊥，⊥所以，于是故，所以而⊥平面，所以⊥平面又⊂平面，所以平面⊥平面栏目链接方法二同平面证明方法如图，以三棱锥的顶点为原点，以所在直线分别作为轴，轴，轴建立空间直角坐标系令，则∩，所以⊥平面题型三证明面面垂直栏目链接例在正三棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，分别为上的点，且∶∶∶求证平面⊥所以，所以⊥，⊥，所以⊥，⊥又所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则所以所以⊥，即⊥同理，⊥又∩，所以⊥平面栏目链接方法二设正方体的棱长为，以为原点，以，则因为，所以线的方向向量与平面内的不共线的两个向量都垂直栏目链接►变式训练如图所示，在正方体中分别是，的中点求证⊥平面栏目链接证明方法设，即⊥，⊥，又∩，且⊂平面，⊂平面故直线⊥平面规律方法利用向量法证明线面垂直，有两种方法证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直，于是，故⊥，⊥长方体中，点为的中点，求证直线⊥平面栏目链接证明依题设，以为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，则，因为，所以⊥，即⊥题型二证明线面垂直栏目链接例如图所示，长因为，所以⊥，即⊥题型二证明线面垂直栏目链接例如图所示，长方体中，点为的中点，求证直线⊥平面栏目链接证明依题设，以为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，则于是，故⊥，⊥，即⊥，⊥，又∩，且⊂平面，⊂平面故直线⊥平面规律方法利用向量法证明线面垂直，有两种方法证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量都垂直栏目链接►变式训练如图所示，在正方体中分别是，的中点求证⊥平面栏目链接证明方法设，则因为，所以所以⊥，即⊥同理，⊥又∩，所以⊥平面栏目链接方法二设正方体的棱长为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则所以所以，所以⊥，⊥，所以⊥，⊥又∩，所以⊥平面题型三证明面面垂直栏目链接例在正三棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，分别为上的点，且∶∶∶求证平面⊥平面证明方法如图，以三棱锥的顶点为原点，以所在直线分别作为轴，轴，轴建立空间直角坐标系令，则，于是故，所以而⊥平面，所以⊥平面又⊂平面，所以平面⊥平面栏目链接方法二同方法，建立空间直角坐标系，则所以，设平面的法向量是，则有⊥，⊥所以，令，得即显然是平面的个法向量又，所以⊥，即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，所以平面⊥平面规律方法证明面面垂直通常有两种方法，是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直线线垂直去证明二是证明两个平面的法向量互相垂直栏目链接►变式训练在直三棱柱中，⊥，为的中点，求证平面⊥平面证明由题意得两两垂直，以为原点，以直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则栏目链接设平面的法向量为，则⇒，令，得，设平面的法向量为，则⇒，令，则，即平面⊥平面栏目链接析疑难提能力栏目链接对线面垂直的判定定理掌握不准致误典例直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面经过直线，则直线与平面的位置关系是平行垂直垂直或直线在平面内不确定栏目链接解析因为，所以⊥，根据线与面垂直的判定定理知，平面只有条直线与直线垂直，所以直线与平面的位置关系不确定答案易错剖析本题易得错误答案直线与平面垂直，是因为对“线与面垂直的判定定理条直线与个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与平面垂直”掌握不准而致误空间向量与垂直关系栏目链接进步掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法能利用方向向量和法向量处理线线线面面面间的垂直问题栏目链接研题型学习法题型证明线线垂直栏目链接例已知正三棱柱的各棱长都为，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且求证⊥栏目链接证明方法设，则由已知条件和正三棱柱的性质，得⊥，⊥栏目链接方法二设中点为，作以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，，，，，为中点，，，⊥，⊥规律方法利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量栏目链接►变式训练在棱长为的正方体中分别是，上的动点，且，求证⊥证明以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，所以，因为，所以⊥，即⊥题型二证明线面垂直栏目链接例如图所示，长方体中，点为的中点，求证直线⊥平面栏目链接证明依题设，以为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，则于是，故⊥，⊥，即⊥，⊥，又∩，且⊂平面，⊂平面故直线⊥平面规律方法利用向量法证明线面垂直，有两种方法证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量都垂直栏目链接►变式训练如图所示，在正方体中分别是，的中点求证⊥平面栏目链接证明方法设，则长方体中，点为的中点，求证直线⊥平面栏目链接证明依题设，以为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，则即⊥，⊥，又∩，且⊂平面，⊂平面故直线⊥平面规律方法利用向量法证明线面垂直，有两种方法证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直，则因为，所以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则所以∩，所以⊥平面题型三证明面面垂直栏目链接例在正三棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，分别为上的点，且∶∶∶求证平面⊥，于是故，所以而⊥平面，所以⊥平面又⊂平面，所以平面⊥平面栏目链接方法二同，令，得即显然是平面的个法向量又，所以⊥，即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，所以平面⊥平为的中点，求证平面⊥平面证明由题意得两两垂直，以为原点，以直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则于是，故⊥，⊥，即⊥，⊥，又∩，且⊂平面，⊂平面故直线⊥平面规律方法利用向量法证明线面垂直，有两种方法证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量都垂直栏目链接►变式训练如图所示，在正方体中分别是，的中点求证⊥平面栏目链接证明方法设，则