方程有两个根，，则两式相除得如果，则，这与相矛盾如果，则，这也与相矛盾，因此即，这与少有个根从正面较难说明为什么只有这个根故我们采用反证法栏目链接►变式训练求证方程有且只有个根证明这说明方程至少有个根下面用反证法证明方程的根是唯的假设，则有，因为，所以，这与已知矛盾故假设错误所以，方程有且只有个根栏目链接点评“有且只有个根”包含了“有根”和“只有这个根”两层意思由于，因此方程至命题成立栏目链接用反证法证明唯性命题已知，证明关于的方程有且只有个根证明由于，因此方程至少有个根如果方程不只个根，不妨设，是它们的两个不同的根，即有且，都不小于，即，因为所以，且把这两个不等式相加，得，从而这与已知条件矛盾因此，都不小于是不可能的，即原且试证，中至少有个小于分析如果从正面证明，需要对个分式小于或两个分式都小于等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于是不可能的于是考虑采用反证法栏目链接证明假设，即，与假设矛盾，所以中至少有个大于点评采用反证法证明结论中至少或至多形式时，可以使得推证方向明确推证过程清晰，有利于问题的整体解决栏目链接►变式训练已知，这是不可能的栏目链接证法二假设，而，都不大于，即，则，而相矛盾栏目链接►变式训练若，求证分析本题若直接证明，难度较大而本题结论的反面更简单，所以宜用反证法证法假设，则即，即不成立，故栏目链接点评当些问题直接证明比较难时，可以考虑用反证法，它是从否定结论出发，利用已知公理定理性质等，进行推理，直至产生矛盾与已知假设或明显成立的事实相矛盾，或自证明假设不全是正数，即至少有个小于或等于又，不妨假设，则又这与已知相矛盾假设，这也与相矛盾，因此即，这与矛盾，所以方程有且只有个根栏目链接当正面入手较困难时宜用反证法已知，求证，这说明方程至少有个根下面用反证法证明方程的根是唯的假设方程有两个根，，则两式相除得如果，则，这与相矛盾如果，则个根”包含了“有根”和“只有这个根”两层意思由于，因此方程至少有个根从正面较难说明为什么只有这个根故我们采用反证法栏目链接►变式训练求证方程有且只有个根证明，程不只个根，不妨设，是它们的两个不同的根，即有且，则有，因为，所以，这与已知矛盾故假设错误所以，方程有且只有个根栏目链接点评“有且只有与已知条件矛盾因此，都不小于是不可能的，即原命题成立栏目链接用反证法证明唯性命题已知，证明关于的方程有且只有个根证明由于，因此方程至少有个根如果方式都不小于是不可能的于是考虑采用反证法栏目链接证明假设，都不小于，即，因为所以，且把这两个不等式相加，得，从而这与式都不小于是不可能的于是考虑采用反证法栏目链接证明假设，都不小于，即，因为所以，且把这两个不等式相加，得，从而这与已知条件矛盾因此，都不小于是不可能的，即原命题成立栏目链接用反证法证明唯性命题已知，证明关于的方程有且只有个根证明由于，因此方程至少有个根如果方程不只个根，不妨设，是它们的两个不同的根，即有且，则有，因为，所以，这与已知矛盾故假设错误所以，方程有且只有个根栏目链接点评“有且只有个根”包含了“有根”和“只有这个根”两层意思由于，因此方程至少有个根从正面较难说明为什么只有这个根故我们采用反证法栏目链接►变式训练求证方程有且只有个根证明这说明方程至少有个根下面用反证法证明方程的根是唯的假设方程有两个根，，则两式相除得如果，则，这与相矛盾如果，则，这也与相矛盾，因此即，这与矛盾，所以方程有且只有个根栏目链接当正面入手较困难时宜用反证法已知，求证证明假设不全是正数，即至少有个小于或等于又，不妨假设，则又这与已知相矛盾假设不成立，故栏目链接点评当些问题直接证明比较难时，可以考虑用反证法，它是从否定结论出发，利用已知公理定理性质等，进行推理，直至产生矛盾与已知假设或明显成立的事实相矛盾，或自相矛盾栏目链接►变式训练若，求证分析本题若直接证明，难度较大而本题结论的反面更简单，所以宜用反证法证法假设，则即，即，这是不可能的栏目链接证法二假设，而，都不大于，即，则，而，即，与假设矛盾，所以中至少有个大于点评采用反证法证明结论中至少或至多形式时，可以使得推证方向明确推证过程清晰，有利于问题的整体解决栏目链接►变式训练已知且试证，中至少有个小于分析如果从正面证明，需要对个分式小于或两个分式都小于等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于是不可能的于是考虑采用反证法栏目链接证明假设，都不小于，即，因为所以，且把这两个不等式相加，得，从而这与已知条件矛盾因此，都不小于是不可能的，即原命题成立栏目链接用反证法证明唯性命题已知，证明关于的方程有且只有个根证明由于，因此方程至少有个根如果方程不只个根，不妨设，是它们的两个不同的根，即有且，则有，因为，所以，这与已知矛盾故假设错误所以，方程有且只有个根栏目链接点评“有且只有个根”包含了“有根”和“只有这个根”两层意思由于，因此方程至少有个根从正面较难说明为什么只有这个根故我们采用反证法栏目链接►变式训练求证方程有且只有个根证明这说明方程至少有个根下面用反证法证明方程的根是唯的假设方程有两个根，，则两式相除得如果，则，这与相矛盾如果，则，这也与相矛盾，因此即，这与矛盾，所以方程有且只有个根栏目链接当正面入手较困难时宜用反证法已知，求证证明假设不全是正数，即至少有个小于或等于又，不妨假设，则又这与已知相矛盾假设不成立，故栏目链接点评当些问题直接证明比较难时，可以考虑用反证法，它是从否定结论出发，利用已知公理定理性质等，进行推理，直至产生矛盾与已知假设或明显成立的事实相矛盾，或自相矛盾栏目链接►变式训练若，求证分析本题若直接证明，难度较大而本题结论的反面更简单，所以宜用反证法证法假设，则即，即，这是不可能的栏目链接证法二假设，而，但取等号的条件是，显然不可能又，这与假设相互矛盾，故第二章推理与证明反证法栏目链接用反证法证明否定性命题设，分别是公比为，且的两个等比数列，如果，证明数列不可能是等比数列分析因为结论是否定的，所以用反证法证明证明假设是等比数列，则，即，展开并整理得由于，是等比数列中的项，所以，，那么，这与已知条件矛盾，所以，数列不可能是等比数列点评本题很好地体现了反证法证明否定性数学命题的巨大作用，同时也十分清晰地展示了反证法的证明步骤►变式训练如图，设，是圆锥的两条母线，是底面圆心，是上点，求证与平面不垂直证明假设⊥平面，直线在平面中，⊥⊥底面圆，⊥又∩，⊥平面平面底面圆，这显然出现矛盾假设不成立，即与平面不垂直栏目链接用反证法证明“至少至多”问题已知，均为实数，且，求证中至少有个大于用反证法证明栏目链接证明假设都不大于，即，则，而，即，与假设矛盾，所以中至少有个大于点评采用反证法证明结论中至少或至多形式时，可以使得推证方向明确推证过程清晰，有利于问题的整体解决栏目链接►变式训练已知且试证，中至少有个小于分析如果从正面证明，需要对个分式小于或两个分式都小于等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于是不可能的于是考虑采用反证法栏目链接证明假设，都不小于，即，因为所以，且把这两个不等式相加，得，从而这与已知条件矛盾因此，都不小于是不可能的，即原命题成立栏目链接用反证法证明唯性命题已知，证明关于的方程有且只有个根证明由于，因此方程至少有个根如果方程不只个根，不妨设，是它们的两个不同的根，即有且，则有，因为，所以，这与已知矛盾故假设错误所以，方程有且只有个根栏目链接点评“有且只有个根”包含了“有根”和“只有这个根”两层意思由于，因此方程至少有个根从正面较难说明为什么只有这个根故我们采用反证法栏目链接►变式训练求证方程有且只有个根证明这说明方程至少有个根下面用反证法证明方程的根是唯的假设方程有两个根，，则两式相除得如果，则，这与相矛盾如果，则，这也与相矛盾，因此即，这与矛盾，所以方程有且只有个与已知条件矛盾因此，都不小于是不可能的，即原命题成立栏目链接用反证法证明唯性命题已知，证明关于的方程有且只有个根证明由于，因此方程至少有个根如果方个根”包含了“有根”和“只有这个根”两层意思由于，因此方程至少有个根从正面较难说明为什么只有这个根故我们采用反证法栏目链接►变式训练求证方程有且只有个根证明这也与相矛盾，因此即，这与矛盾，所以方程有且只有个根栏目链接当正面入手较困难时宜用反证法已知，求证不成立，故栏目链接点评当些问题直接证明比较难时，可以考虑用反证法，它是从否定结论出发，利用已知公理定理性质等，进行推理，直至产生矛盾与已知假设或明显成立的事实相矛盾，或自，这是不可能的栏目链接证法二假设，而，都不大于，即，则，而且试证，中至少有个小于分析如果从正面证明，需要对个分式小于或两个分式都小于等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于是不可能的于是考虑采用反证法栏目链接证明假设命题成立栏目链接用反证法证明唯性命题已知，证明关于的方程有且只有个根证明由于，因此方程至少有个根如果方程不只个根，不妨设，是它们的两个不同的根，即有且少有个根从正面较难说明为什么只有这个根故我们采用反证法栏目链接►变式训练求证方程有且只有个根证明这说明方程至少有个根下面用反证法证明方程的根是唯的假设