，整理得，或又，方法思想方程思想在求离心率中的应用设双曲线的个焦点为，虚轴的个端点为，如果直线与该双曲线的条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为解析设双曲线方程为不妨设个焦点为虚轴端点为则又渐近线的斜率为，所以由直线垂直关系得显然不符合，即，又，所以，两边同除以，整理得，解得或舍去名师点评本题利用方程思想，将已知条件转化为关于，的方程，然后求出离心率求解椭圆双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于，的齐次方程或不等式，然后再转化成关于的方程或不等式求解已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是得，直线与双曲线有两个交点，的面积⇒双曲线的方程为设由知，易验证当直线斜率不存在时不满足题意，故可设直线，由消元的离心率为，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点的直线交双曲线于两点，为左焦点求双曲线的方程若的面积等于，求直线的方程解依题意知，则，解得双根据双曲线的定义可得，故选考点四与双曲线有关的综合问题湖南宁远中测试已知双曲线，两点为坐标原点，则双曲线的方程为解析椭圆的焦点坐标为设双曲线的标准方程为，考点二求双曲线的标准方程高考江西卷过双曲线的右顶点作轴的垂线，与的条渐近线相交于点若以的右焦点为圆心半径为的圆经过，因为⊥，所以，所以所以东北三校联合模拟与椭圆共焦点且过点，的双曲线的标准方程为，则的值为解析在中，由正弦定理知设在双曲线的右支上的顶点，分别为双曲线的左，右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上点，若⊥曲线的支，则需确定是哪支在“焦点三角形”中，正弦定理余弦定理双曲线的定义是经常使用的知识点另外，还经常结合，运用平方的方法，建立它与的联系已知，又，故规律方法在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的支若是双，则的横坐标和的横坐标相同本例中双曲线方程变为，若点在上，不变，求的值解如图，由双曲线的定义得分别为，由三角形的内切圆的性质则有又，的定义得，又，故如图，内切圆圆心到各边的距离分别为，切点是双曲线，右支上点分别为左右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标是解析由，得，如图，由双曲线线的几何性质高频考点考点四与双曲线有关的综合问题考点双曲线的定义高考大纲全国卷已知双曲线的离心率为，焦点为，点在上若，则解析设双曲线的方程为，将点，代入上式，得，的方程为，其渐近线方程为考点双曲线的定义考点二求双曲线的标准方程考点三双曲线解析设双曲线的方程为，将点，代入上式，得，的方程为，其渐近线方程为考点双曲线的定义考点二求双曲线的标准方程考点三双曲线的几何性质高频考点考点四与双曲线有关的综合问题考点双曲线的定义高考大纲全国卷已知双曲线的离心率为，焦点为，点在上若，则是双曲线，右支上点分别为左右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标是解析由，得，如图，由双曲线的定义得，又，故如图，内切圆圆心到各边的距离分别为，切点分别为，由三角形的内切圆的性质则有又则的横坐标和的横坐标相同本例中双曲线方程变为，若点在上，不变，求的值解如图，由双曲线的定义得，又，故规律方法在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的支若是双曲线的支，则需确定是哪支在“焦点三角形”中，正弦定理余弦定理双曲线的定义是经常使用的知识点另外，还经常结合，运用平方的方法，建立它与的联系已知的顶点，分别为双曲线的左，右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上点，若⊥，则的值为解析在中，由正弦定理知设在双曲线的右支上，因为⊥，所以，所以所以东北三校联合模拟与椭圆共焦点且过点，的双曲线的标准方程为考点二求双曲线的标准方程高考江西卷过双曲线的右顶点作轴的垂线，与的条渐近线相交于点若以的右焦点为圆心半径为的圆经过，两点为坐标原点，则双曲线的方程为解析椭圆的焦点坐标为设双曲线的标准方程为，则，解得双根据双曲线的定义可得，故选考点四与双曲线有关的综合问题湖南宁远中测试已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点的直线交双曲线于两点，为左焦点求双曲线的方程若的面积等于，求直线的方程解依题意知⇒双曲线的方程为设由知，易验证当直线斜率不存在时不满足题意，故可设直线，由消元得，直线与双曲线有两个交点，的面积得，则所以直线的方程为或规律方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于或的元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题铜陵模拟若双曲线的离心率等于，直线与双曲线的右支交于，两点求的取值范围若，求的值解由，得故双曲线的方程为设由得直线与双曲线右支交于，两点，故，即所以由得，整理得，或又，方法思想方程思想在求离心率中的应用设双曲线的个焦点为，虚轴的个端点为，如果直线与该双曲线的条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为解析设双曲线方程为不妨设个焦点为虚轴端点为则又渐近线的斜率为，所以由直线垂直关系得显然不符合，即，又，所以，两边同除以，整理得，解得或舍去名师点评本题利用方程思想，将已知条件转化为关于，的方程，然后求出离心率求解椭圆双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于，的齐次方程或不等式，然后再转化成关于的方程或不等式求解已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是，解析根据对称性，只要，故故离心率的取值范围是，第讲双曲线第八章平面解析几何双曲线的概念平面内动点与两个定点的距离之差的绝对值为常数，则点的轨迹叫这两个定点叫双曲线的，两焦点间的距离叫集合其中为常数且，当时，点的轨迹是双曲线当时，点的轨迹是当时，点不存在双曲线焦点焦距两条射线双曲线的标准方程和几何性质，标准方程图形，标准方程性质范围或，，或对称性对称轴，对称中心顶点渐近线坐标轴原点标准方程性质离心率，，实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长线段叫做双曲线的虚轴，它的长叫做双曲线的半实轴长，叫做双曲线的半虚轴长的关系，做做高考课标全国卷Ⅰ已知双曲线的离心率为，则已知中心在原点的双曲线的右焦点为离心率等于，则的方程是辨明三个易误点双曲线的定义中易忽视这条件若，则轨迹是以，为端点的两条射线，若，则轨迹不存在区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中双曲线的离心率，,而椭圆的离心率，求双曲线标准方程的两种方法定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的，即可求得方程待定系数法与双曲线共渐近线的可设为若渐近线方程为，则可设为若过两个已知点，则可设为双曲线几何性质的关注点双曲线的几何性质可从以下三点关注“六点”两焦点两顶点两虚轴端点“四线”两对称轴实虚轴两渐近线“两形”中心顶点虚轴端点构成的三角形双曲线上的点不包括顶点与两焦点构成的三角形做做是“方程表示双曲线”的充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件解析当时，方程表示双曲线当时，方程也表示双曲线是“方程表示双曲线”的充分不必要条件高考北京卷设双曲线经过点且与具有相同渐近线，则的方程为渐近线方程为解析设双曲线的方程为，将点，代入上式，得，的方程为，其渐近线方程为考点双曲线的定义考点二求双曲线的标准方程考点三双曲线的几何性质高频考点考点四与双曲线有关的综合问题考点双曲线的定义高考大纲全国卷已知双曲线的离心率为，焦点为，点在上若，则是双曲线，右支上点分别为左右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标是解析由，得，如图，由双曲线的定义得，又，故如图，内切圆圆心到各边的距离分别为，切点分别为，由三角形的内切圆的性质则有又，解析设双曲线的方程为，将点，代入上式，得，的方程为，其渐近线方程为考点双曲线的定义考点二求双曲线的标准方程考点三双曲线的几何性质高频考点考点四与双曲线有关的综合问题考点双曲线的定义高考大纲全国卷已知双曲线的离心率为，焦点为，点在上若，则是双曲线，右支上点分别为左右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标是解析由，得，如图，由双曲线的定义得，又，故如图，内切圆圆心到各边的距离分别为，切点分别为，由三角形的内切圆的性质则有又则的横坐标和的横坐标相同本例中双曲线方程变为，若点在上，不变，求的值解如图，由双曲线的定义得，又，故规律方法在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的支若是双曲线的支，则需确定是哪支在“焦点三角形”中，正弦定理余弦定理双曲线的定义是经常使用的知识点另外，还经常结合，运用平方的方法，建立它与的联系已知的顶点，分别为双曲线的左，右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上点，若⊥，则的值为解析在中，由正弦定理知设在双曲线的右支上，因为⊥，所以，所以所以东北三校联合模拟与椭圆共焦点且过点，的双曲线的标准方程为考点二求双曲线的标准方程高考江西卷过双曲线的右顶点作轴的垂线，与的条渐近线相交于点若以的右焦点为圆心半径为的圆经过，两点为坐标原点，则双曲线的方程为解析椭圆的焦点坐标为设双曲线的标准方程为，则，解得双线的几何性质高频考点考点四与双曲线有关的综合问题考点双曲线的定义高考大纲全国卷已知双曲线的离心率为，焦点为，点在上若，则的定义得，又，故如图，内切圆圆心到各边的距离分别为，切点，则的横坐标和的横坐标相同本例中双曲线方程变为，若点在上，不变，求的值解如图，由双曲线的定义得曲线的支，则需确定是哪支在“焦点三角形”中，正弦定理余弦定理双曲线的定义是经常使用的知识点另外，还经常结合，运用平方的方法，建立它与的联系已知，则的值为解析在中，由正弦定理知设在双曲线的右支上考点二求双曲线的标准方程高考江西卷过双曲线的右顶点作轴的垂线，与的条渐近线相交于点若以的右焦点为圆心半径为的圆经过，则，解得双根据双曲线的定义可得，故选考点四与双曲线有关的综合问题湖南宁远中测试已知双曲线⇒双曲线的方程为设由知，易验证当直线斜率不存在时不满足题意，故可设直线，由消元，整理得，或又，方法思想方程思想在求离心率中的应用设双曲线的个焦点为，虚轴的个端点为，如果直线与该双曲线的条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为解析设双曲线方程为不妨设个焦点为虚轴端点为则又渐近线的斜率为，所以由直线垂直关系得显然不符合，即，又，所以，两边同除以，整理得，解得或舍去名师点评本